[论文解读] On the Milnor classes of local complete intersections

R. Callejas-Bedregal, M. F. Z. Morgado+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文為由全纯向量丛的正则截面定义的局部完备交的总米尔诺类建立了一个公式，将其表达为射影对偶丛中超曲面的米尔诺类。通过横截性与陈类的运算，该文将帕鲁辛斯基-普拉加奇及阿鲁菲类型公式推广至完备交情形，为奇异代数几何中全局 Lê 循环与米尔诺不变量之间建立了桥梁。

ABSTRACT

In this work we study algebraic, geometric and topological properties of the Milnor classes of local complete intersections with arbitrary singularities. We describe first the Milnor class of the intersection of a finite number of hypersurfaces, under certain conditions of transversality, in terms of the Milnor classes of the hypersurfaces. Using this description we obtain a Parusiński-Pragacz type formula, an Aluffi type formula and a description of the Milnor class of the local complete intersection in terms of the global Lê cycles of the hypersurfaces that define it. We consider next the general case of a local complete intersection $Z(s)$ defined by a regular section $s$ of a rank $r$ holomorphic bundle $E$ over a compact manifold $M$, $r \geq 2$. We notice that $s$ determines a hypersurface $Z( ilde s)$ in the total space of the projectivization $\mathbb{P}(E^{\vee})$ of the dual bundle $E^{\vee}$, and we give a formula expressing the total Milnor class of the local complete intersection $Z(s)$ in terms of the Milnor classes of the hypersurface $Z( ilde s)$.

研究动机与目标

• 将米尔诺类公式从超曲面推广至具有任意奇点的局部完备交。
• 建立局部完备交的米尔诺类与定义超曲面的全局 Lê 循环之间的联系。
• 将帕鲁辛斯基-普拉加奇及阿鲁菲类型公式推广至完备交情形。
• 推导出以射影对偶丛中关联超曲面的米尔诺类表示的局部完备交总米尔诺类的通用公式。

提出的方法

• 使用惠特尼分层与横截性条件，控制局部完备交交线中的奇点。
• 应用奥莫托与由克拉的积米尔诺类工作，推导出完备交米尔诺类作为超曲面米尔诺类与施瓦茨-麦克法利森类组合的公式。
• 利用射影对偶丛上的典范线丛，提升截面并定义一个超曲面，其米尔诺类与原始完备交相关。
• 运用投影公式及涉及射影丛的切丛与相对切丛的陈类恒等式，将原始截面的米尔诺类与提升后超曲面的米尔诺类关联起来。
• 应用引理6.3关于向量丛的正合序列，通过上陈类与逆陈类将连续零点集上的米尔诺类关联起来。
• 通过涉及对偶丛、典范线丛与相对切丛的特征类表达式的前推，推导出主公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用射影对偶丛中关联超曲面的米尔诺类来表达由秩为 r 的全纯丛的正则截面定义的局部完备交 $ Z(s) $ 的米尔诺类？
• RQ2 局部完备交的米尔诺类与定义它的超曲面的全局 Lê 循环之间的确切关系是什么？
• RQ3 帕鲁辛斯基-普拉加奇及阿鲁菲类型公式能否从超曲面情形推广至完备交情形？
• RQ4 对偶丛与典范线丛的陈类在表达局部完备交的米尔诺类中起什么作用？
• RQ5 对偶丛的射影化如何编码原始完备交的拓扑与代数不变量？

主要发现

• 局部完备交 $ Z(s) $ 的总米尔诺类由公式 $ {\rm M}(Z(s)) = p_*\big( c(p^*E^\bullet \otimes \mathcal{O}(1))^{-1} c_1(\mathcal{O}(1))^{r-1} c(F)^{-1} c_{\rm top}(F) \cap {\rm M}(Z(\tilde{s})) \big) $ 给出，其中 $ \tilde{s} $ 是在 $ \mathbb{P}(E^\vee) $ 上诱导的截面。
• 得到了一个帕鲁辛斯基-普拉加奇型公式，作为陈类 $ c_1(L_i) $ 的多项式，推广了已知的超曲面公式。
• 通过定理5.4，完备交的米尔诺类与定义它的超曲面的全局 Lê 循环相关联，提供了拓扑-几何解释。
• 通过使用 $ \mu $-类，推导出一个阿鲁菲型公式，将完备交的米尔诺类表达为各超曲面米尔诺类的组合。
• 该公式在横截性 Whitney 分层的选择下保持不变，并在各 $ X_i $ 的分层之间满足横截性假设时依然成立。
• 该结果推广了先前关于超曲面的工作，并为利用射影几何与特征类系统计算完备交情形下的米尔诺类提供了方法。