[论文解读] On the Minimal Uncompletable Word Problem

Gabriele Fici, Elena V. Pribavkina+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2010

semigroups and automata theory参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文研究了在有限字母表上非完备词集的不可补全词的最短长度，表明此类词的长度可超过 $2k^2$，且在最大词长为 $k$ 的集合中，其渐近增长速度可达 $3k^2$。研究提供了显式构造与计算证据，表明当 $k \geq 7$ 时，最小不可补全词长度可达 $3k^2 - 9k + 1$，从而挑战了 Restivo 提出的 $2k^2$ 上限猜想。

ABSTRACT

Let S be a finite set of words over an alphabet Sigma. The set S is said to be complete if every word w over the alphabet Sigma is a factor of some element of S*, i.e. w belongs to Fact(S*). Otherwise if S is not complete, we are interested in finding bounds on the minimal length of words in Sigma* which are not elements of Fact(S*) in terms of the maximal length of words in S.

研究动机与目标

• 确定非完备有限词集 $S$ 的最短不可补全词长度的紧致上下界。
• 探究 Restivo 关于最短不可补全词长度的 $2k^2$ 上限猜想是否对最大词长为 $k$ 的集合成立。
• 构造显式例子，展示某些非完备集 $S$ 的最短不可补全词长度超过 $2k^2$。
• 分析最短不可补全词的结构特性，特别是其涉及长度为 $k$ 的无边框词 $u$ 的因子分解。
• 利用 Vaucanson 自动机平台对 $k$ 的递增取值进行计算与验证，以确定最短不可补全词。

提出的方法

• 通过构造非完备集 $S$ 为 $\Sigma^k \setminus \{u\} \cup T$，其中 $u$ 为长度 $k$ 的无边框词，$T$ 为较短词的集合，以保持非完备性，同时增加不可补全词的长度。
• 利用结构 $w = u v_1 u v_2 \cdots u v_m u$ 来建模最短不可补全词，其中 $v_i \notin \Sigma^* u \Sigma^*$，以确保 $u$ 同时作为前缀和后缀出现。
• 通过 Vaucanson 平台进行计算验证，对 $k$ 从 5 到 12 的参数化集合族计算最短不可补全词。
• 通过在 Restivo 等人已知构造的基础上增加额外的短词（如 $b^4$），使最短不可补全词长度超过 $2k^2$。
• 通过结构分析与反证法证明所构造词的最短性，表明任何更短的前缀或后缀均可被 $S^*$ 补全。
• 分析 $UWL(k)$（二元字母表上最短不可补全词的最大长度）的渐近增长，并推导出 $k \geq 7$ 时的下界 $3k^2 - 9k + 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Restivo 的猜想 $UWL(k) \leq 2k^2$ 对所有 $k$ 是否成立？
• RQ2 对于某些最大词长为 $k$ 的非完备集 $S$，最短不可补全词的长度是否可能超过 $2k^2$？
• RQ3 最短不可补全词必须满足哪些结构约束，特别是关于长度为 $k$ 的无边框词 $u$ 的位置与重复方式？
• RQ4 向 $\Sigma^k \setminus \{u\}$ 添加短词如何影响最短不可补全词的长度？
• RQ5 $UWL(k)$ 的渐近增长速率如何？其是否可被 $k$ 的三次函数从下方界定？

主要发现

• 当 $k \geq 7$ 时，集合 $S'_k = \Sigma^k \setminus \{a^{k-2}bb\} \cup \Sigma ba^{k-4}\Sigma \cup \Sigma ba \cup b^4 \cup J_k$ 产生长度为 $3k^2 - 9k + 1$ 的最短不可补全词，表明 $UWL(k) \geq 3k^2 - 9k + 1$。
• $S'_k$ 的构造最短不可补全词形式为 $w = (a^{k-2}bb)a^{k-1}(a^{k-2}bb)\cdots(a^{k-2}bb)$，其内部结构复杂，包含重复的 $a^{k-2}bb$ 与嵌入的 $b$-块。
• 对于 $5 \leq k \leq 12$，集合 $S_k$ 产生长度为 $2k^2 - 2k + 1$ 的最短不可补全词，表明 $UWL(k) \geq 2k^2 - 2k + 1$，该值超过 Restivo 提出的 $2k^2$ 上限。
• $S_k$ 的最短不可补全词保持结构 $uv_1uv_2\cdots uv_{k-1}u$，确认了 Restivo 的猜想形式，但其中间部分 $v_i$ 更长。
• 将 $b^4$ 添加至 $S_k$ 构成 $S'_k$，使最短不可补全词长度从 $2k^2 - 2k + 1$ 增加至 $3k^2 - 9k + 1$，表明微小修改可显著提升界限。
• 本文通过 Vaucanson 平台提供了计算证据，表明对 $k$ 从 5 到 12 的构造词确为最短不可补全词，支持了界限的有效性。