[论文解读] On the moments of the Riemann zeta-function in short intervals

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|Jul 8, 2008

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文在黎曼猜想假设下，为黎曼 zeta 函数在短区间 $[T, T+H]$ 上的 $2k$-阶矩建立了上界，其中 $H = T^\theta$，$0 < \theta \leq 1$。通过借鉴 Soundararajan 方法的大值估计，对 $\log|\zeta(1/2 + it)|$ 进行处理，证明了 $\int_T^{T+H} |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt \ll H(\log T)^{k^2(1 + O(1/\log_3 T))}$，将先前结果中的 $\varepsilon$-损失替换为指数中显式的 $o(1)$ 误差项。

ABSTRACT

Assuming the Riemann Hypothesis it is proved that, for fixed $k&gt;0$ and $H = T^θ$ with fixed $0

研究动机与目标

• 将 Soundararajan 对 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt$ 的 $L^2$-矩上界推广至长度为 $H = T^\theta$ 的短区间 $[T, T+H]$。
• 将 Soundararajan 上界中指数部分的 $\varepsilon$-损失替换为依赖于 $\log_3 T$ 的显式 $o(1)$ 项。
• 在黎曼猜想假设下，为短区间内 $|\zeta(1/2 + it)|$ 的 $2k$-阶矩建立一个紧致的上界。
• 将 $\log|\zeta(1/2 + it)|$ 的大值估计方法推广至短区间，提升指数中误差项的精度。

提出的方法

• 将 Soundararajan 对 $\log|\zeta(1/2 + it)|$ 的大值方法适配至长度为 $H = T^\theta$ 的短区间。
• 通过 von Mangoldt 函数与 Selberg 方法，对 $\log|\zeta(1/2 + it)|$ 使用截断的 Dirichlet 多项式逼近。
• 采用 dyadic 分解，并在 $V$ 的三个不同范围中估计满足 $\log|\zeta(1/2 + it)| \geq V$ 的集合的测度。
• 对质数及其补集上的指数和 $S_1(t)$ 与 $S_2(t)$ 使用矩估计，结合引理 3 中关于质数上求和的矩界估计。
• 应用 Stirling 公式并对 $r$ 进行优化，以最小化测度估计中的指数项。
• 将基于 $V$ 大小的三种情形的界进行合并，推导出最终的矩积分上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 Soundararajan 对 $|\zeta(1/2 + it)|$ 的 $2k$-阶矩上界中的 $\varepsilon$-损失能否被指数中显式的 $o(1)$ 项所取代？
• RQ2 在黎曼猜想假设下，当 $H = T^\theta$ 且 $0 < \theta \leq 1$ 时，$\int_T^{T+H} |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt$ 的最佳可能上界是什么？
• RQ3 $\log|\zeta(1/2 + it)|$ 的大值估计方法如何推广至短区间？需要哪些改进？
• RQ4 能否将上界中的指数改进至与短区间中已知的下界 $H(\log H)^{k^2}$ 相匹配？

主要发现

• 在黎曼猜想假设下，当 $H = T^\theta$ 时，$|\zeta(1/2 + it)|$ 在区间 $[T, T+H]$ 上的 $2k$-阶矩满足 $\int_T^{T+H} |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt \ll H(\log T)^{k^2(1 + O(1/\log_3 T))}$。
• 指数中的误差项显式为 $O(1/\log_3 T)$，当 $T \to \infty$ 时趋于零，优于 Soundararajan 原始结果中的 $\varepsilon$-损失。
• 该上界通过针对 $\log|\zeta(1/2 + it)|$ 的大值估计推导得出，该估计分为 $V$ 的三个范围，每个范围需使用不同的矩估计与优化。
• 当 $V \leq \log_2 T$ 时，满足 $\log|\zeta(1/2 + it)| \geq V$ 的 $t \in [T, T+H]$ 的测度被限制为 $H \frac{V}{\sqrt{\log_2 T}} \exp\left(-\frac{V^2}{\log_2 T}\left(1 - \frac{7}{2\theta \log_3 T}\right)\right)$。
• 当 $V \geq \frac{1}{2}\theta \log_2 T \log_3 T$ 时，测度以 $H \exp(-\frac{1}{20}\theta V \log V)$ 的形式衰减，反映出大值的快速衰减。
• 当前方法尚无法推广至 $\log_2 T \ll H \leq T$ 的完整范围，且指数中的 $O(1/\log_3 T)$ 项尚无法通过现有技术去除。