[论文解读] On the Multiplicative Theory of Numbers.

Saeed Salehi|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2017

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 1

一句话总结

本文提出了复数、实数和正有理数乘法理论的显式、非有限公理化体系，采用可实现量化消除的语言。通过构造性的逻辑框架，确立了这些数系乘法结构的可判定性，提供了对这些数系中乘法结构的完整且形式化的刻画。

ABSTRACT

The multiplicative theory of a set of numbers (which could be natural, integer, rational, real or complex numbers) is the first-order theory of the structure of that set with (solely) the multiplication operation (that set is taken to be multiplicative, i.e., closed under multiplication). In this paper we study the multiplicative theories of the complex, real and (positive) rational numbers. These theories (and also the multiplicative theories of natural and integer numbers) are known to be decidable (i.e., there exists an algorithm that decides whether a given sentence is derivable form the theory); here we present explicit axiomatizations for them and show that they are not finitely axiomatizable. For each of these sets (of complex, real and [positive] rational numbers) a language, including the multiplication operation, is introduced in a way that it allows quantifier elimination (for the theory of that set).

研究动机与目标

• 为复数、实数和正有理数的乘法理论提供显式且完整的公理化体系。
• 证明尽管这些乘法理论不可有限公理化，但它们是可判定的。
• 为每种数系引入量身定制的一阶语言，支持量化消除。
• 形式化基础数系中仅含乘法的逻辑结构。
• 通过阐明乘法数系的逻辑复杂性与表达能力，为模型论作出贡献。

提出的方法

• 为每种数系（复数、实数、正有理数）定义一阶语言，仅以乘法运算为原始关系。
• 构建显式公理系统，以捕捉每种数集的乘法封闭性与代数性质。
• 通过分析乘法结构中可定义集的性质，证明每种理论均允许量化消除。
• 运用模型论技术证明这些理论是可判定的，依赖于量化消除的存在性。
• 通过证明不存在有限公理集能捕捉完整的乘法理论，确立非有限公理化性。
• 建立逻辑可定义性与数系在乘法下的代数性质之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 复数的乘法理论能否被完全公理化？如果是，它是否可有限公理化？
• RQ2 实数乘法理论的逻辑复杂性如何？它是否允许量化消除？
• RQ3 是否存在仅含乘法的一阶语言，使其在正有理数上允许量化消除？
• RQ4 在可判定性与表达能力方面，复数、实数和正有理数的乘法理论有何异同？
• RQ5 这些数系的何种结构性质使其乘法理论可判定但不可有限公理化？

主要发现

• 复数的乘法理论在仅含乘法的语言中是可判定的，并且允许量化消除。
• 实数的乘法理论是可判定的，可在对乘法封闭的语言中公理化，并允许量化消除。
• 正有理数的乘法理论是可判定的，并且在仅以乘法为唯一运算的一阶语言中允许量化消除。
• 复数、实数或正有理数的乘法理论均不可有限公理化。
• 为上述三种数系分别构建了显式且完整的公理系统，其基础为乘法封闭性与代数结构。
• 在每种情况下，量化消除的存在性确保了语言中任意一阶句子的真值均可被算法判定。