[论文解读] On the Neumann problem for Monge-Ampère type equations

Feida Jiang, Neil S. Trudinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文建立了具有半线性边界条件的Monge-Ampère型方程Neumann边值问题的全局二阶导数估计与经典可解性。通过扩展Lions、Trudinger与Urbas（1986）以及近期的二阶导数界技术，作者在系数的自然条件下（包括正则性、单调性及区域的统一A-凸性）证明了$ C^{3,\beta} $解的存在性与唯一性。

ABSTRACT

In this paper, we study the global regularity for regular Monge-Ampère type equations associated with semilinear Neumann boundary conditions. By establishing a priori estimates for second order derivatives, the classical solvability of the Neumann boundary value problem is proved under natural conditions. The techniques build upon the delicate and intricate treatment of the standard Monge-Ampère case by Lions, Trudinger and Urbas in 1986 and the recent barrier constructions and second derivative bounds by Jiang, Trudinger and Yang for the Dirichlet problem. We also consider more general oblique boundary value problems in the strictly regular case.

研究动机与目标

• 建立具有半线性Neumann边界条件的Monge-Ampère型方程的先验二阶导数估计。
• 在系数与区域的自然结构条件下，证明Neumann问题的经典可解性。
• 通过改进的障碍构造与导数估计，将现有从Dirichlet情形推广至Neumann情形的结果。
• 将分析推广至严格正则情形下的斜边界值问题。

提出的方法

• 采用上解与下解方法，结合含指数权重与截断函数的辅助函数，以控制梯度与二阶导数的增长。
• 在局部球内使用修改后的辅助函数$ w = \eta^2 e^{\kappa u} |Du|^2 $，在Hessian具有二次下界条件下推导梯度估计。
• 利用一致斜性条件$ G_p \cdot \nu \geq \beta_0 $，确保边界算子非退化且与内部方程相容。
• 应用区域$ \Omega $的$ A $-凸性概念，通过曲率与矩阵导数条件定义$ A $，以控制边界行为。
• 对$ A $施加正则性条件，如$ p $方向的余维一凸性，以及$ z $方向的单调性，以保证椭圆性与唯一性。
• 依赖边界算子$ G $的凹性与一致斜性，推导全局估计并应用不动点论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Monge-Ampère型方程的Neumann问题允许存在$ C^{3,\alpha} $解？
• RQ2 如何为具有Neumann条件的Monge-Ampère型方程建立二阶导数估计？
• RQ3 对$ A $、$ B $与$ \varphi $的何种结构假设可确保椭圆解的存在性与唯一性？
• RQ4 区域$ \Omega $的统一$ A $-凸性如何影响Neumann问题的可解性？
• RQ5 结果能否推广至具有类似正则性与可解性的斜边界条件？

主要发现

• 本文在$ A $、$ B $、$ \varphi $与$ \Omega $的自然假设下，证明了Neumann问题存在唯一$ C^{3,\alpha} $解。
• 通过精巧的障碍构造及含指数权重与截断函数的辅助函数，建立了全局二阶导数估计。
• 获得了依赖于$ \mu_0 $、$ \sigma_0 $、$ \beta_0 $、$ \Omega $与$ \|u\|_{L^\infty} $的局部梯度估计$ |Du(x_0)| \leq C/R $。
• 当存在上解$ \bar{u} $与椭圆下解$ \underline{u} $，且$ \Omega $关于$ G $与区间$ [\underline{u}, \bar{u}] $一致$ A $-凸时，解存在且唯一。
• 在最优传输情形下，当满足条件A1、A2及成本函数与目标测度的结构条件时，存在性结果成立。
• 当$ G $关于$ p $一致斜且凹，且仅要求$ A $正则时，结果可推广至斜边界问题。