[论文解读] On the Newton polygons of abelian varieties of Mumford's type

Mao Sheng, Kang Zuo|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文在正特征 p 下确定了牟姆福类型阿贝尔簇的所有可能的牛顿多边形，推广了努特的研究。利用 p 进霍奇理论与伽罗华表示的张量分解，证明了牛顿多边形要么是超奇异的（所有斜率均为 1/2），要么由指定重数的斜率 i/r 构成，具体取决于相关四元数代数和全实域的 p 进行为。

ABSTRACT

Let $A$ be an abelian variety of Mumford's type. This paper determines all possible Newton polygons of $A$ in char $p$. This work generalizes a result of R. Noot.

研究动机与目标

• 对正特征 p 下牟姆福类型阿贝尔簇的所有可能牛顿多边形进行分类。
• 将 R. 努特关于牛顿多边形与同构类型的成果推广至牟姆福族的一般情形。
• 通过 CM 点与域嵌入的显式构造，证明所有预测的牛顿多边形均存在。
• 阐明 p 进霍奇结构与晶体表示在决定牛顿多边形中的作用。
• 通过证明所有可能多边形的完整范围，部分证实关于霍奇型志贺簇牛顿分层的猜想。

提出的方法

• 利用 p 进霍奇理论，特别是潜在晶体表示理论，分析阿贝尔簇的伽罗华表示。
• 将 p 进伽罗华表示的张量分解应用于全实域 F 到 Q_p 的嵌入所关联的分量。
• 利用森算子与霍奇-泰特共轭，证明每个张量因子均为潜在晶体表示。
• 利用单值性算子条件（N=0）推导出表示为潜在晶体表示。
• 应用定理 3.15，即具有指定霍奇-泰特权的潜在晶体表示张量积的牛顿多边形。
• 通过在牟姆福族中利用 CM 点构造显式例子，利用自由选择四元数代数中最大子域在 p 处分裂或非分裂的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征 p 下，牟姆福类型阿贝尔簇的所有可能牛顿多边形的完整集合是什么？
• RQ2 伽罗华表示的 p 进霍奇理论性质如何决定牛顿多边形的形状？
• RQ3 牟姆福类型阿贝尔簇的所有预测牛顿多边形是否都能通过 CM 点的约化在几何上实现？
• RQ4 分歧次数 r = [F_p : Q_p] 在决定牛顿多边形斜率中的作用是什么？
• RQ5 四元数代数 D 的选择及其在 p 处的分裂行为如何影响牛顿多边形？

主要发现

• 牟姆福类型阿贝尔簇的良好约化 A_k 的牛顿多边形要么是超奇异的，所有斜率均为 1/2，重数为 2^{d+ε(D)}，要么由斜率 i/r（i = 0, ..., r）构成。
• 在非超奇异情形下，每个斜率 i/r 的重数为 2^{d−r+ε(D)} × (r 选 i)，其中 d 为全实域 F 的次数，ε(D) 为 0 或 1，取决于 D。
• 超奇异情形恰好出现在 p 进伽罗华表示为斜率 1/2 的等值表示时，对应于单个牛顿多边形线段。
• 所有预测的牛顿多边形均作为牟姆福族中 CM 点的约化而实现，证实了每个同构类的存在性。
• 伽罗华表示分解为 r 个分量（每个均为潜在晶体表示）是牛顿多边形结构的基础。
• 证明依赖于通过森理论与 p 进单值性定理证明每个张量因子均为潜在晶体表示，从而实现最终分类。