[论文解读] On the NP-completeness of Finding an Optimal Strategy in Games with Common Payoffs

Francis C. Chu, Joseph Y. Halpern|ArXiv.org|Mar 27, 2001

Advanced Research in Systems and Signal Processing被引用 6

一句话总结

本文证明，在具有单一自然行动的双人、同报酬博弈中，判断是否存在联合策略以实现最低期望收益 $ r $ 的问题是 NP-完全的。即使在自然行动后每位玩家仅有一个行动，该结果依然成立，表明尽管存在共同利益，此类博弈中的最优协调策略在计算上仍属不可行。

ABSTRACT

Consider a very simple class of (finite) games: after an initial move by nature, each player makes one move. Moreover, the players have common interests: at each node, all the players get the same payoff. We show that the problem of determining whether there exists a joint strategy where each player has an expected payoff of at least r is NP-complete as a function of the number of nodes in the extensive-form representation of the game.

研究动机与目标

• 研究在玩家具有相同收益的博弈中，寻找最优联合策略的计算复杂性。
• 确定此类最优策略是否可在具有单一机会移动的展开形式博弈中被高效计算。
• 确立即使在受限条件下（如两人且每人仅一个行动）该问题仍为 NP-完全。
• 将此问题的不可解性与在标准形式表示中可多项式时间求解的特性进行对比。
• 探讨当玩家的不确定性受到约束（即他们考虑的可能世界数量有限）时，该问题的困难性是否依然存在。

提出的方法

• 将 3SAT 问题归约至在同报酬博弈中寻找能使期望收益达到目标值 $ r $ 的联合策略问题。
• 构建一个展开形式博弈，其中自然的行动对应于 3CNF 公式中变量的真值赋值。
• 分配收益，使得当且仅当公式可满足时，存在联合策略使期望收益达到 $ r = 1 $。
• 建模玩家的观察，使玩家 1 能看到变量的出现，玩家 2 能看到子句，从而造成信息不对称。
• 使用世界上的概率分布来编码子句的满足性与变量赋值。
• 证明高收益联合策略的存在性等价于公式可满足性，从而确立 NP-完全性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有单一自然行动且每位玩家在自然行动后仅有一个行动的同报酬博弈中，判断是否存在联合策略使期望收益不低于 $ r $ 是否为 NP-完全？
• RQ2 当玩家信息有限（即仅考虑有限数量的可能世界）时，该 NP-完全性结果是否依然成立？
• RQ3 同一博弈在展开形式与标准形式表示下的最优联合策略寻找复杂性有何差异？
• RQ4 当玩家的不确定性被限制为少量可能世界时，该问题是否仍为 NP-完全？
• RQ5 当目标是寻找接近最优的策略（而非精确最优）时，该问题是否仍属不可解？

主要发现

• 判断是否存在联合策略使期望收益至少为 $ r $ 的问题，即使在双人博弈中每人仅一个行动后自然行动，也是 NP-完全的。
• 即使两位玩家在任一状态下最多仅考虑三个可能世界，该 NP-完全性依然成立，表明困难性并非源于高不确定性。
• 即使将公式转换为每个变量最多出现在三个子句中，该结果依然成立，且归约得以保持。
• 无论玩家是否具有完美记忆，只要他们在自然行动后仅行动一次，该结果均成立。
• 该问题属于 NP，因为可通过多项式时间验证一个联合策略是否满足条件。
• 若玩家具有完美信息（即仅考虑一个可能世界），该问题可多项式时间求解，表明不确定性是导致不可解性的关键因素。