[论文解读] On the NP-completeness of the Minimal Controllability Problem

Guilherme Ramos, Soummya Kar+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2014

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文通过将最小可控性问题（MCP）约化为集合覆盖问题，证明了对于具有单特征值的线性时不变（LTI）系统，MCP 是 NP-完全问题。此外，本文表明尽管 MCP 在一般情况下是 NP-完全问题，但其在勒贝格测度意义下几乎是多项式时间可解的，并提出了一种通过近似技术推导次优解的实用方法。

ABSTRACT

This paper studies the minimal controllability problem(MCP), i.e., the problem of, given a linear time invariant system, finding the sparsest input vector tha t ensures system’s controllability. We show that the MCP is NP-complete, when the eigenvalues of the system dynamics matrix are simple. This is achieved by reducing the MCP to a set covering problem. In addition, the approximated solutions to the set covering problem lead to feasible (but sub-optimal) solutions to the MCP. Further, we analyze the relation of the MCP with its structural counterpart, the minimal structural controllability problem (MSCP) which is known to admit a polynomial complexity solution procedure. In fact, we conclude that the MCP is almost polynomial (P) in the sense the MCP for which we cannot show that is P (but NPcomplete) has zero Lesbegue measure. Finally, we provide an illustrative example where the solution to the MCP is found using the main results and reductions developed in this paper and posteriorly compared with the solution of the MSCP.

研究动机与目标

• 确定最小可控性问题（MCP）的计算复杂度，该问题旨在寻找确保系统可控性的最稀疏输入向量。
• 建立从 MCP 到集合覆盖问题的正式约化，以分析其计算难度。
• 探讨 MCP 与其结构对应问题——最小结构可控性问题（MSCP）之间的关系，后者已知可在多项式时间内求解。
• 研究尽管 MCP 是 NP-完全问题，其在勒贝格测度意义下是否几乎为多项式时间可解。
• 通过具体示例比较 MCP 与 MSCP 的解，展示该方法的应用。

提出的方法

• 将 MCP 约化为集合覆盖问题，以在单特征值条件下证明其 NP-完全性。
• 利用集合覆盖问题的近似算法，生成 MCP 的可行但次优的解。
• 分析其结构对应问题 MSCP，以对比其多项式时间可解性与 MCP 的 NP-完全性。
• 采用测度论论证，表明 MCP 为 NP-完全问题的系统集合具有零勒贝格测度，意味着其在测度意义下几乎是多项式时间可解的。
• 提供一个数值示例，说明所提出的约化方法与解法在特定系统中的应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 最小可控性问题（MCP）在计算上是否困难？如果是，在何种条件下？
• RQ2 MCP 是否可约化为已知的 NP-难问题（如集合覆盖问题），以确立其复杂度？
• RQ3 MCP 的复杂度与已知可在多项式时间内求解的最小结构可控性问题（MSCP）相比如何？
• RQ4 MCP 的 NP-完全性是否为普遍性质，还是仅在测度为零的集合上发生？
• RQ5 针对集合覆盖问题的近似技术能否在实际应用中产生适用于 MCP 的实用次优解？

主要发现

• 当系统动态矩阵具有单特征值时，MCP 被证明为 NP-完全问题。
• 该问题可约化为集合覆盖问题，为分析其复杂度并推导近似解提供了路径。
• 尽管 MCP 是 NP-完全问题，但其为 NP-完全问题的系统集合具有零勒贝格测度，意味着其在测度意义下几乎是多项式时间可解的。
• 集合覆盖问题的近似算法可为 MCP 生成可行但次优的解。
• 可通过所提出的约化方法计算 MCP 的解，如数值示例所示，其与 MSCP 解的对比验证了该方法的有效性。