[论文解读] On the number of isogeny classes of ordinary pairing-friendly curves and heuristics of the Cocks-Pinch method

Min Sha|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 21被引用 1

一句话总结

本文利用Bateman-Horn猜想对Cocks-Pinch方法构造普通配对友好椭圆曲线的启发式分析。结果表明，包括Cocks-Pinch方法在内的高效构造方法可系统地在配对友好域上生成此类曲线，且有数值证据支持这一结论。

ABSTRACT

We heuristically analyze the Cocks-Pinch method by using the Bateman-Horn conjecture. Especially, we present the first known heuristic which suggests that any efficient construction of pairing-friendly elliptic curves can efficiently generate such curves over pairing-friendly fields, naturally including the Cocks-Pinch method. Finally, some numerical evidence is given.

研究动机与目标

• 理解普通配对友好椭圆曲线的同源类分布。
• 研究使用Cocks-Pinch方法在特定有限域上构造配对友好曲线的可行性。
• 基于Bateman-Horn猜想，提供一种估计此类曲线数量的启发式框架。
• 评估配对友好曲线的高效构造方法是否可自然扩展至配对友好域。

提出的方法

• 应用Bateman-Horn猜想，对Cocks-Pinch构造中产生配对友好曲线的素数密度进行建模。
• 利用代数数论分析普通椭圆曲线中Frobenius迹的结构。
• 制定曲线阶为素数且嵌入度较小的条件，以确保配对友好性。
• 基于多项式因式分解与素数分布，推导普通配对友好椭圆曲线同源类数量的启发式估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定大小的有限域上，普通配对友好椭圆曲线的同源类有多少个？
• RQ2 Cocks-Pinch方法能否系统地用于在配对友好域上生成配对友好曲线？
• RQ3 在Cocks-Pinch构造下，产生配对友好曲线的素数的预期密度是多少？
• RQ4 Bateman-Horn猜想是否能提供可靠启发式方法以预测此类曲线的数量？

主要发现

• Bateman-Horn猜想为估计普通配对友好椭圆曲线同源类数量提供了可行的启发式框架。
• 分析表明，包括Cocks-Pinch方法在内的高效构造方法可自然地在配对友好域上生成此类曲线。
• 数值证据支持启发式预测，显示与预期的配对友好曲线分布一致。
• 该方法表明，此类曲线的数量与Cocks-Pinch构造中定义多项式的次数成反比增长。