[论文解读] On the number of square integrable solutions and self-adjointness of symmetric first order systems of differential equations

Matthias Lesch, M. M. Malamud|ArXiv.org|Dec 11, 2000

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文研究了具有奇异哈密顿量的对称一阶微分方程组的平方可积解数量以及自伴性准则。通过最小对称关系的共轭定义域的正则性定理，建立了形式缺陷指标与非形式缺陷指标之间的联系，证明了对确定性系统而言，形式缺陷指标等于标准缺陷指标，并将 Titchmarsh–Sears 定理推广至二阶 Sturm–Liouville 方程。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to investigate the formal deficiency indices ${\cal N}_{\pm}(I)$ of a symmetric first order system $$ Jf'+Bf=λ{\cal H} f $$ on an interval $I$, where $I=\mathbb{R}$ or $I=\mathbb{R}_\pm.$ Here $J,B,{cal H}$ are $n imes n$ matrix valued functions and the Hamiltonian ${\cal H}\ge 0$ may be singular even everywhere. We obtain two results for such a system to have minimal numbers ${\cal N}_\pm(\mathbb{R})=0$ (resp. ${\cal N}_\pm(\mathbb{R}_\pm)=n$) and a criterion for their maximality ${\cal N}_{\pm}(\mathbb{R}_+)=2n.$ Some conditions for a canonical system to have intermediate numbers ${\cal N}_\pm(\mathbb{R}_+)$ are presented, too. We also obtain a generalization of the well-known Titchmarsh-Sears theorem for second order Sturm-Liouville type equations. This contains results due to Lidskii and Krein as special cases. It is important to note that in general the above system does not give rise to an operator but rather to a symmetric linear relation in a Hilbert space. These relations are investigated in detail. As a byproduct we obtain very short proofs of (generalizations of) the main results of a paper by Kogan and Rofe-Beketov (Proc. Roy. Soc. Edinb. 74 (1974/75))as well as a criterion for the quasi-regularity of canonical systems. This covers the Kac-Krein theorem and some results from the quoted paper of Kogan and Rofe-Beketov.

研究动机与目标

• 确定对称一阶系统具有最小或最大缺陷指标的条件。
• 通过最小对称关系共轭定义域的正则性定理，建立形式缺陷指标与标准缺陷指标之间的联系。
• 将 Titchmarsh–Sears 定理从二阶 Sturm–Liouville 方程推广至一阶系统。
• 提供实直线与半直线上本质自伴性的判别准则，包括中间缺陷指标情形。
• 将 Kogan 与 Rofe–Beketov 的结果以及 Kac–Krein 定理推广至具有奇异哈密顿量的典型系统。

提出的方法

• 在 $ L^2_{\mathcal{H}}(I) $ 中引入对称线性关系 $ S_{\min} $ 与 $ S_{\min}^* $，分析其定义域。
• 证明 $ \mathcal{D}(S_{\min}^*) $ 的正则性定理，确保弱解可提升为几乎处处逐点解。
• 利用规范变换将系统约化为正规或典型形式，以促进分析。
• 应用对称线性关系的扩张理论，刻画缺陷指标 $ N_\pm(S_{\min}) $。
• 比较形式缺陷指标 $ \mathcal{N}_\pm $ 与标准缺陷指标 $ N_\pm(S_{\min}) $，证明对确定性系统二者相等。
• 运用迹估计与典型系统的解的渐近分析，推导缺陷指标取值的判别准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathbb{R} $ 或 $ \mathbb{R}_+ $ 上，对称一阶系统在何种条件下具有平凡缺陷指标 $ \mathcal{N}_\pm(\mathbb{R}) = 0 $？
• RQ2 在 $ \mathbb{R}_+ $ 上，系统在何种条件下达到最大缺陷指标 $ \mathcal{N}_\pm(\mathbb{R}_+) = 2n $？
• RQ3 何种条件导致中间缺陷指标 $ \mathcal{N}_\pm(\mathbb{R}_+) \in \{n+1, \dots, 2n-1\} $？
• RQ4 形式缺陷指标 $ \mathcal{N}_\pm $ 与标准缺陷指标 $ N_\pm(S_{\min}) $ 之间有何关系？
• RQ5 Titchmarsh–Sears 定理能否推广至具有奇异哈密顿量的一阶系统？

主要发现

• 正则性定理确保 $ \mathcal{D}(S_{\min}^*) $ 中每个元素均有代表元几乎处处满足微分方程，从而解决了正则性问题。
• 对确定性系统，形式缺陷指标 $ \mathcal{N}_\pm $ 与标准缺陷指标 $ N_\pm(S_{\min}) $ 一致，且 $ \mathcal{N}_\pm(\mathbb{R}) = 0 $ 当且仅当 $ S_{\min} $ 本质自伴。
• 在特定条件下，有 $ \mathcal{N}_\pm(\mathbb{R}_+) = 2n $ 当且仅当 $ \int_0^\infty \operatorname{tr}(\mathcal{H}(x))\,dx = \infty $。
• 对标量系统（$ n=1 $），有 $ \mathcal{N}_\pm(P_+) = 1 $ 当且仅当 $ \int_0^\infty (\widetilde{A}^2(x) + 1)\mathcal{H}(x)\,dx = \infty $，否则 $ \mathcal{N}_\pm(P_+) = 2 $。
• 本文给出反例反驳 Krein 的一个断言，表明即使 $ n=1 $，$ \int_1^\infty \sqrt{\mathcal{H}(x)}\,dx = \infty $ 也不蕴含 $ \mathcal{N}_\pm(P_+) = 1 $。
• 结果推广了 Kac–Krein 定理，并将 Kogan–Rofe–Beketov 准则扩展至拟正则典型系统。