[论文解读] On the number of vertices in integer linear programming problems

Nikolai Yu. Zolotykh|ArXiv.org|Nov 12, 2006

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文对整数线性规划问题中可行解凸包的顶点数的上下界进行了全面综述与改进。研究证明，对于固定维度 $ n $，顶点数的增长率为 $ \Omega(m^{\lfloor n/2\rfloor} \log^{n-1} \alpha) $，与目前已知的最佳上界一致，从而在常数因子意义下证明了该界的紧致性，并表明对于一般整数线性规划问题，任何多项式时间算法都无法避免在最坏情况下出现指数级的顶点数增长。

ABSTRACT

We give a survey of work on the number of vertices of the convex hull of integer points defined by the system of linear inequalities. Also, we present our improvement of some of these.

研究动机与目标

• 分析并改进整数线性规划系统中整数解凸包顶点数的上下界。
• 确定整数规划中顶点数随维度 $ n $、约束数 $ m $ 和系数大小 $ \alpha $ 的渐近增长速率。
• 通过证明匹配的下界，建立现有上界的紧致性，表明在最坏情况下无法实现显著改进。
• 研究顶点数界对高效整数线性规划算法设计的影响，特别是对分支定界法和割平面法复杂度的影响。

提出的方法

• 使用谢夫琴科的分离性质方法，通过系数范围的对数增长来限制顶点数。
• 将 $ P_I $ 的顶点与具有分离性质的集合一一对应，从而可应用对数乘积界。
• 通过变量拆分将一般整数线性规划问题转化为非负变量的等式系统，同时保持顶点结构不变。
• 在参数范围内使用概率和平均值论证，推导出期望顶点数的下界。
• 利用模运算和格点计数，将背包多面体中的顶点数与同余方程的解联系起来。
• 应用 McMullen 的上界定理，将顶点数与面数关联，揭示多面体复杂度的含义。

实验结果

研究问题

• RQ1 在由 $ Ax \leq b $ 定义的多面体中，其整数点凸包最多可能有多少个顶点？
• RQ2 目前已知的整数规划中顶点数的上界能否改进，还是说它们在渐近意义上已达到紧致？
• RQ3 顶点数对约束数 $ m $、维度 $ n $ 和系数大小 $ \alpha $ 的依赖关系如何？
• RQ4 是否存在能够达到最坏情况顶点数的整数规划族？如果存在，其结构是怎样的？
• RQ5 在整数包中存在指数级多的顶点时，对算法设计有何影响？

主要发现

• 整数包 $ P_I $ 中的顶点数最多为 $ c_n m^{\lfloor n/2\rfloor} \log^{n-1}(1+\alpha) $，与目前已知的最佳上界一致。
• 证明了匹配的下界 $ \Omega(m^{\lfloor n/2\rfloor} \log^{n-1} \alpha) $，表明对于固定 $ n $，该上界在渐近意义上是紧致的。
• 对于背包问题，背包多面体中的顶点数至少为 $ \Omega(\log^{n-1} \alpha) $，确认了该界在此特殊情形下的紧致性。
• 这些下界是非构造性的；对于较大的 $ n $，尚无已知的显式多面体族能实现 $ \Omega(\log^{n-1} \alpha) $ 个顶点。
• 在 $ P_I $ 中的面数最多为 $ c_n m^{(\lfloor n/2\rfloor)^2} \log^{(n-1)\lfloor n/2\rfloor}(1+\alpha) $，该结果由顶点-面对偶性与 McMullen 的界推导得出。
• 结果表明，即使对于固定的 $ n $，任何通用的整数线性规划算法都无法避免在顶点数上出现指数级的最坏情况复杂度。