[论文解读] On the numerical index of real $L_p(\mu)$-spaces

Miguel Martı́n, Javier Merí+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2009

Advanced Banach Space Theory参考文献 4被引用 6

一句话总结

该论文为实值 $L_p(\mu)$-空间（$p \neq 2$）的数值指标建立了正的下界，证明了在 $\mathcal{L}(L_p(\mu))$ 上数值半径与算子范数等价。关键结果为 $n(L_p(\mu)) \geq \frac{M_p}{12e}$，其中 $M_p = \max_{t \geq 1} \frac{|t^{p-1} - t|}{1 + t^p} > 0$，解决了关于无限维实 $L_p$-空间中数值指标正性的开放问题。

ABSTRACT

We give a lower bound for the numerical index of the real space $L_p(\\mu)$ showing, in particular, that it is non-zero for $p\ eq 2$. In other words, it is shown that for every bounded linear operator $T$ on the real space $L_p(\\mu)$, one has $$ \\sup{\\Bigl|\\int |x|^{p-1}\\sign(x) T x d\\mu \\Bigr| : x\\in L_p(\\mu), \\|x\\|=1} \\geq \\frac{M_p}{12\\e}\\|T\\| $$ where $M_p=\\max_{t\\in[0,1]}\\frac{|t^{p-1}-t|}{1+t^p}>0$ for every $p\ eq 2$. It is also shown that for every bounded linear operator $T$ on the real space $L_p(\\mu)$, one has $$ \\sup{\\int |x|^{p-1}|Tx| d\\mu : x\\in L_p(\\mu), \\|x\\|=1} \\geq \\frac{1}{2\\e}\\|T\\|. $$

研究动机与目标

• 为 $p \neq 2$ 时实值 $L_p(\mu)$-空间的数值指标建立正的下界，解决泛函分析中的一个开放问题。
• 解决 Finet 和 Li 提出的关于无限维实 $L_p$-空间中数值指标正性的疑问。
• 将有限维 $\ell_p^m$-空间的已知结果推广至无限维情形 $L_p(\mu)$。
• 提供一个定量估计，将数值指标与参数 $M_p = \max_{t \geq 1} \frac{|t^{p-1} - t|}{1 + t^p}$ 联系起来，该参数源于 $\ell_p^2$ 上特定算子的数值半径。
• 证明在 $p \neq 2$ 时，$\mathcal{L}(L_p(\mu))$ 上数值半径与算子范数等价，意味着 $n(L_p(\mu)) > 0$。

提出的方法

• 在 $\mathcal{L}(L_p(\mu))$ 上引入一种新的半范数，介于数值半径与算子范数之间，从而实现对这三者的比较。
• 利用对偶配对 $x^\# = |x|^{p-1} \operatorname{sign}(x)$ 将数值半径表示为 $v(T) = \sup \left| \int x^\# T x \, d\mu \right|$，其中 $x \in L_p(\mu)$ 且 $\|x\|_p = 1$。
• 构造一类简单函数 $x = \sum_{j=1}^m a_j e^{i\theta_j} \chi_{A_j}$，满足 $\|x\|_p = 1$，以从下方估计数值半径。
• 通过使用 $z_k \in \{-1, 1\}$ 的对称化方法，利用 $\sum_j a_j^{p-1} \left| \sum_k a_k z_k \alpha_{j,k} \right|$ 来有界积分 $\int x^\# T x \, d\mu$ 的实部。
• 利用实算子 $T$ 的复化 $T_\mathbb{C}$，并结合复 $L_p$-空间中已知的估计 $v(T_\mathbb{C}) \geq n(L_p^\mathbb{C}(\mu)) \|T_\mathbb{C}\| \geq \frac{1}{e} \|T\|$。
• 将实与复的估计结果结合，利用函数 $M_p$ 的凸性与极值性质，推导出最终的下界 $n(L_p(\mu)) \geq \frac{M_p}{12e}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 无限维实 $L_p(\mu)$-空间在 $p \neq 2$ 时的数值指标是否为正？
• RQ2 能否在 $p$ 的表达式中为实 $L_p(\mu)$-空间的数值指标建立一个定量的下界？
• RQ3 $L_p(\mu)$ 的数值指标与其有限维子空间 $\ell_p^m$ 的数值指标有何关系？
• RQ4 在 $p \neq 2$ 时，$\mathcal{L}(L_p(\mu))$ 上数值半径与算子范数是否等价？
• RQ5 参数 $M_p = \max_{t \geq 1} \frac{|t^{p-1} - t|}{1 + t^p}$ 在控制数值指标下界中起什么作用？

主要发现

• 对于所有 $1 < p < \infty$ 且 $p \neq 2$，实 $L_p(\mu)$-空间的数值指标满足 $n(L_p(\mu)) \geq \frac{M_p}{12e}$，其中 $M_p = \max_{t \geq 1} \frac{|t^{p-1} - t|}{1 + t^p}$。
• 由于对所有 $p \neq 2$ 都有 $M_p > 0$，因此该结果意味着对所有 $p \neq 2$ 都有 $n(L_p(\mu)) > 0$，从而解决了 Finet 和 Li 提出的开放问题。
• 该结果确认了在 $p \neq 2$ 时，$\mathcal{L}(L_p(\mu))$ 上数值半径与算子范数等价，即存在某个 $c_p > 0$ 使得 $v(T) \geq c_p \|T\|$。
• 对所有 $\dim(L_p(\mu)) \geq 2$，有 $n(L_p(\mu)) \leq M_p$，并推测等号可能成立，尽管尚未得到证明。
• 证明方法依赖于复化以及在 $\{-1, 1\}$-取值系数上的对称化，以从下方估计数值半径。
• 该结果将已知的有限维情形下 $n(\ell_p^m) \geq \frac{M_p}{12e}$ 推广至无限维情形，表明 $n(L_p(\mu)) = \inf_m n(\ell_p^m)$。