[论文解读] On the optimal dividend problem for a spectrally positive Levy process

Chuancun Yin, Yuzhen Wen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2013

Probability and Risk Models参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文证明，对于具有有界分红率的谱正稳定过程，最优分红策略为阈值策略，即仅当盈余超过临界水平 $b^*$ 时以最大速率 $\alpha$ 支付分红，否则不支付。通过使用 scale 函数与波动理论，作者在一般条件下推导出预期贴现分红支付的显式表达式，并证明了策略的最优性，从而将先前关于对偶模型与扩散扰动模型的结果推广至更广泛的 Lévy 过程类别。

ABSTRACT

In this paper we study the optimal dividend problem for a company whose surplus process evolves as a spectrally positive Levy process. This model including the dual model of the classical risk model and the dual model with diffusion as special cases. We assume that dividends are paid to the shareholders according to admissible strategy whose dividend rate is bounded by a constant. The objective is to find a dividend policy so as to maximize the expected discounted value of dividends which are paid to the shareholders until the company is ruined. We show that the optimal dividend strategy is formed by a threshold strategy.

研究动机与目标

• 确定公司盈余服从谱正 Lévy 过程且分红率受限时的最优分红政策。
• 将先前关于对偶模型与扩散扰动模型的研究结果推广至更广泛的 Lévy 过程类别。
• 在一般 Lévy 倒数下建立阈值策略的最优性，无论跳跃分布如何。
• 在最优策略下，推导预期贴现分红支付的显式表达式。

提出的方法

• 将分红优化问题表述为具有有界分红率与破产吸收的随机控制问题。
• 利用与谱正 Lévy 过程相关的 scale 函数 $W^{(q)}$ 与 $Z^{(q)}$ 表达值函数。
• 使用 Laplace 指数 $\Psi(\theta)$ 与右逆 $\Phi_1(q)$ 描述 scale 函数的行为特征。
• 通过涉及 $W^{(q)}$ 与 $Z^{(q)}$ 的积分表达式，分段推导出 $x > b^*$ 与 $0 < x < b^*$ 时的值函数 $V(x,b^*)$。
• 应用变分分析与边界条件，通过方程 $V(b^*,b^*) = \frac{\alpha}{q} - \frac{1}{\Phi_1(q)}$ 确定最优阈值 $b^*$。
• 通过证明当 $x > b^*$ 时 $V'(x,b^*) < 1$，当 $x < b^*$ 时 $V'(x,b^*) > 1$，且在 $b^*$ 处连续，从而确立最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当分红率受限时，谱正 Lévy 过程中的分红问题是否最优策略为阈值策略？
• RQ2 对于超出指数或扩散情形的一般 Lévy 过程，最优阈值水平 $b^*$ 是否可显式刻画？
• RQ3 阈值策略的最优性是否与 Lévy 测度的结构无关？
• RQ4 在最优策略下，如何以闭式表达预期贴现分红支付？
• RQ5 何种条件可确保最优策略在最大化分红支付的同时避免破产？

主要发现

• 最优分红策略为阈值策略，即仅当盈余超过 $b^*$ 时以最大速率 $\alpha$ 支付分红，否则不支付。
• 最优阈值 $b^*$ 由方程 $V(b^*,b^*) = \frac{\alpha}{q} - \frac{1}{\Phi_1(q)}$ 确定，该方程确保了最优性的导数条件。
• 当 $x > b^*$ 时，值函数为 $V(x,b^*) = \frac{\alpha}{q} - \frac{1}{\Phi_1(q)} e^{-\Phi_1(q)(x-b^*)}$，表明其随与阈值距离的增加呈指数衰减。
• 当 $0 < x < b^*$ 时，值函数涉及 scale 函数 $W^{(q)}$ 与 $Z^{(q)}$ 函数的积分，反映了阈值前的动力学行为。
• 导数 $V'(x,b^*)$ 在 $x = b^*$ 处连续，且满足 $V'(b^*,b^*) = 1$，证实了在阈值处的光滑贴合行为。
• 该结果适用于所有谱正 Lévy 过程，包括对偶模型与带扩散的对偶模型作为特例。