[论文解读] On the order of vertex-stabilisers in vertex-transitive graphs with local group $C_p imes C_p$ or $C_p \wr C_2$

Pablo Spiga, Gabriel Verret|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 22被引用 7

一句话总结

该论文为连通、边传递、顶点传递图建立了结构二分法，其局部作用同构于 $C_p \times C_p$ 或 $C_p \mathop{\mathrm{wr}} C_2$，证明了图的阶要么被 $p$ 的函数有界，要么至少以 $2p|G_v|\log_p(|G_v|/\chi)$ 的速度增长，要么图同构于已知的 $\mathrm{PX}(p,r,s)$ 家族。该结果推广了弧传递图中顶点稳定子大小的界，并改进了此前对 $p$-正则图的指数增长界。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime and let $L$ be either the intransitive permutation group $C_p imes C_p$ of degree $2p$ or the transitive permutation group $C_p \wr C_2$ of degree $2p$. Let $Γ$ be a connected $G$-vertex-transitive and $G$-edge-transitive graph and let $v$ be a vertex of $Γ$. We show that if the permutation group induced by the vertex-stabiliser $G_v$ on the neighbourhood $Γ(v)$ is isomorphic to $L$ then either $|V(Γ)|\geq p|G_v|\log_p\left(|G_v|/2 ight)$, or $|V(Γ)|$ is bounded by a constant depending only on $p$, or $Γ$ is a very-well understood graph. This generalises a few recent results.

研究动机与目标

• 将图兰定理关于弧传递图的结果推广至局部作用同构于 $C_p \times C_p$ 或 $C_p \mathop{\mathrm{wr}} C_2$ 的图。
• 对顶点稳定子大小不随图阶次亚线性增长的例外情况加以分类。
• 通过提供稳定子阶次的更紧、显式的图大小下界，改进先前对 $p$-正则弧传递图的指数增长界。
• 对不满足增长界或同构于 $\mathrm{PX}(p,r,s)$ 家族的所有例外对 $(\Gamma, G)$ 进行结构分类。

提出的方法

• 使用置换群理论分析顶点稳定子在图邻域上的局部作用。
• 应用有限置换群的结构定理，包括极小正规子群及其作用的分类。
• 通过图阶次的归纳法，结合正则覆盖和商图的分析，将问题约化为基本情形。
• 显式计算西罗 $p$-子群的幂零类，以排除某些自同构群。
• 通过已知的小阶顶点传递图的普查表对例外情况实施穷举搜索。
• 利用先前关于 4-正则弧传递图的研究成果，将框架扩展至 $p$-正则情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当局部作用为 $C_p \times C_p$ 或 $C_p \mathop{\mathrm{wr}} C_2$ 时，在顶点和边传递图中，顶点稳定子大小在何种条件下随图阶次亚线性增长？
• RQ2 所有例外图——即不满足增长界或同构于 $\mathrm{PX}(p,r,s)$ 的图——是否可被显式分类？
• RQ3 与先前结果相比，以稳定子阶次表示的图大小界在 $p$-正则弧传递图中如何表现，特别是改进程度如何？
• RQ4 哪些结构性质刻画了 $\mathrm{PX}(p,r,s)$ 家族及其在分类中的作用？
• RQ5 当稳定子大小较大时，$|\mathrm{V}(\Gamma)|$ 的有界性在 $p$ 上的精确阈值是什么？

主要发现

• 对任意素数 $p$，若 $\Gamma$ 是连通的 $G$-边传递、$G$-顶点传递图，且其局部作用为 $\mathcal{L}_{p,\chi}$，则要么 $|\mathrm{V}(\Gamma)| \geq 2p \cdot \frac{|G_v|}{\chi} \log_p\left(\frac{|G_v|}{\chi}\right)$，要么 $|\mathrm{V}(\Gamma)|$ 被仅依赖于 $p$ 的常数有界，要么 $\Gamma \cong \mathrm{PX}(p,r,s)$ 对某个 $r \geq 3$，$1 \leq s \leq r-2$ 成立。
• 界 $|\mathrm{V}(\Gamma)| \geq 2p \cdot \frac{|G_v|}{\chi} \log_p\left(\frac{|G_v|}{\chi}\right)$ 改进了此前对 $p$-正则弧传递图的指数增长界。
• 当 $p=2$ 时，所有不满足增长界或同构于 $\mathrm{PX}(2,r,s)$ 的例外对 $(\Gamma, G)$ 在表 5 中被显式列出，其中 $|G_v| \leq 16$ 或 $|\mathrm{V}(\Gamma)| = 8100$。
• 例外情形 $|\mathrm{V}(\Gamma)| = 8100$ 且 $|G_v| = 256$ 满足增长界，因为 $4 \cdot 256 \cdot \log_2(256) = 8192 > 2 \cdot 8100$，确认该界成立。
• $\mathrm{PX}(p,r,s)$ 图是唯一满足局部作用条件但不满足增长界的无限图族。
• 证明表明，所有此类图要么属于 $\mathrm{PX}(p,r,s)$ 家族，要么满足增长界，要么其大小被函数 $c(p)$ 有界，且后一种情形在 $p=2$ 时已完全分类。