[论文解读] On the origin of inflation by using exotic smoothness

Torsten Aßelmeyer-Maluga, Jerzy Król|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2013

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 58被引用 4

一句话总结

本文提出一种几何暴胀模型，其中具有拓扑结构 $S^3 \times \mathbb{R}$ 和奇异微分结构（具体为 $S^3 \times_\theta \mathbb{R}$）的时空，通过从 $S^3$ 到双曲同调3-球面（例如，来自 $8_{10}$ 立体图）的拓扑变化，诱导出加速膨胀。该模型自然产生超过60个e-因子的暴胀，具有有限持续时间，并通过单一拓扑不变量作为唯一参数，几何地解释了再加热过程与量子涨落。

ABSTRACT

In this paper we discuss a spacetime having the topology of S^3 x R but with a different smoothness structure leading to a geometric model for inflation, called geometric inflation. In particular this spacetime is not globally hyperbolic and we obtain a time line with a spatial topology change from the 3-sphere to a homology 3-sphere and back. The topology of the spacetime remains invariant. Among the infinite possible smoothness structures of this spacetime, we choose a homology 3-sphere constructed from the knot 8_{10} with hyperbolic geometry, i.e. admitting a homogenous metric of negative scalar curvature. We discuss the accelerated expansion for FLRW cosmology caused by the topology change. In contrast to other inflation models, this process stops after a finite time. Alternatively, the topology change can be also described by a SU(2)-valued scalar field. Then we calculate the expansion rate (having more than 60 e-folds) and the energy time scale. The coupling to matter is also interpreted geometrically and the reheating process (as well the supercooled expansion during inflation) is naturally obtained. The model depends only on a single parameter, a topological invariant of the homology 3-sphere, and assumes a Planck size universe of S^3-topology. The dependence of the model on the initial state and the a geometric interpretation of quantum fluctuations are also discussed.

研究动机与目标

• 通过时空拓扑与奇异微分结构从第一性原理推导暴胀，避免引入人为的标量场。
• 将暴胀的起源解释为从 $S^3$ 到具有双曲几何的同调3-球面的拓扑转变的结果。
• 在不预先引入物质耦合的前提下，提供再加热与超冷膨胀的几何描述。
• 证明该模型仅依赖于一个参数：同调3-球面的拓扑不变量，从而确保最小化假设。
• 通过 Chern-Simons 不变量与奇异时空上的自对偶联络，几何地解释量子涨落。

提出的方法

• 通过在 $\Sigma \times [0,1]$ 上使用正向构造法，构建奇异的 $S^3 \times_\theta \mathbb{R}$ 时空，其中 $\Sigma$ 是一个具有双曲几何的同调3-球面（例如，来自 $8_{10}$ 立体图）。
• 利用莫尔斯理论将拓扑转变 $S^3 \to \Sigma$ 描述为包含负曲率贡献的 Casson 手柄的处理分解。
• 将暴胀相建模为奇异微分结构的几何效应，其中曲率与拓扑共同驱动加速膨胀。
• 通过取值于 $SU(2)$ 的标量场表示拓扑转变，将该过程与规范理论结构及 Chern-Simons 不变量联系起来。
• 利用 Casson 手柄的曲率贡献计算膨胀速率，并通过在时空区域上的积分推导出 e-因子数量。
• 利用 Chern-Simons 不变量 $\tau(\Sigma)$ 计算暴胀的能量与时间尺度，该不变量作为模型的唯一参数。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可能仅通过时空拓扑与奇异微分结构实现暴胀，而无需引入基本标量场？
• RQ2 从 $S^3$ 到双曲同调3-球面的拓扑变化如何诱导出有限且几何动机明确的暴胀相？
• RQ3 Chern-Simons 不变量 $\tau(\Sigma)$ 在决定暴胀的持续时间与能量尺度方面起什么作用？
• RQ4 在基于奇异微分结构的几何框架中，如何自然地解释再加热与量子涨落？
• RQ5 该模型在多大程度上依赖于初始条件？量子涨落的几何起源如何编码？

主要发现

• 该模型产生超过60个e-因子的暴胀，满足观测上对尺度不变扰动的要求。
• 由于转变的拓扑本质，暴胀相在有限时间内结束，与标量场模型中永恒暴胀的情况不同。
• 暴胀的能量尺度由 Chern-Simons 不变量 $\tau(\Sigma)$ 决定，该不变量作为模型的唯一参数。
• 再加热过程由拓扑转变几何诱导，物质耦合自然地从时空几何中浮现。
• 量子涨落被解释为奇异微分结构的拓扑不变量，具体与 $\pi_1(\Sigma)$ 的 $SU(2)$ 表示相关。
• 该模型实现了早期宇宙的几何描述，其中初始的 $S^3$ 拓扑演化为具有负平均曲率的同调3-球面，从而驱动加速膨胀。