[论文解读] On the partition function of the Riemann zeta function, and the Fyodorov--Hiary--Keating conjecture

Adam J. Harper|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 15被引用 29

一句话总结

本文首次建立了与Fyodorov–Hiary–Keating猜想一致的、关于临界线上黎曼ζ函数最大值的严格上界，精确匹配了该猜想所预测的首项与第二项。通过将ζ函数近似为光滑数与粗糙数上的Dirichlet多项式之积，并应用随机矩阵理论中的概率方法，作者证明：对几乎所有 $ t ∈ [T, 2T] $，其局部最大值满足 $ \max_{|h|\leq 1/2} \log|\zeta(1/2+it+ih)| \leq \log\log T - (3/4+o(1))\log\log\log T $，从而确认了所预测的极值行为。

ABSTRACT

We investigate the ``partition function'' integrals $\int_{-1/2}^{1/2} |ζ(1/2 + it + ih)|^2 dh$ for the critical exponent 2, and the local maxima $\max_{|h| \leq 1/2} |ζ(1/2 + it + ih)|$, as $T \leq t \leq 2T$ varies. In particular, we prove that for $(1+o(1))T$ values of $T \leq t \leq 2T$ we have $\max_{|h| \leq 1/2} \log|ζ(1/2+it+ih)| \leq \log\log T - (3/4 + o(1))\log\log\log T$, matching for the first time with both the leading and second order terms predicted by a conjecture of Fyodorov, Hiary and Keating. The proofs work by approximating the zeta function in mean square by the product of a Dirichlet polynomial over smooth numbers and one over rough numbers. They then apply ideas and results from corresponding random model problems to compute averages of this product, under size restrictions on the smooth part that hold for most $T \leq t \leq 2T$ (but reduce the size of the averages). There are connections with the study of critical multiplicative chaos. Unlike in some previous work, our arguments never shift away from the critical line by more than a tiny amount $1/\log T$, and they don't require explicit calculations of Fourier transforms of Dirichlet polynomials.

研究动机与目标

• 严格建立临界线上黎曼ζ函数局部最大值的上界，使其与所预测的渐近行为一致。
• 解决Fyodorov–Hiary–Keating猜想中关于 $ |\zeta(1/2+it+ih)| $ 在短区间内最大值的第二项预测。
• 发展一种避免远离临界线的大幅度位移、且无需显式计算Dirichlet多项式傅里叶变换的方法。
• 分析积分 $ \int_{-1/2}^{1/2} |\zeta(1/2+it+ih)|^2 dh $ 及其矩，以推断ζ函数局部行为的分布性质。
• 通过将ζ函数分解为光滑部分与粗糙部分，建立数论ζ函数行为与临界乘性混沌及随机矩阵模型之间的联系。

提出的方法

• 将 $ \zeta(1/2+it+ih) $ 近似为关于 $ P $-光滑数的Dirichlet多项式与关于 $ P $-粗糙数的Dirichlet多项式之积，其中 $ P $ 依 $ T $ 而定。
• 对ζ函数使用平滑的二元分解，按频率区间索引于 $ l $，并通过控制 $ |I_{l,t}(\tilde{h}(l))| $ 的大小来控制局部因子的乘积。
• 引入一个光滑的控制函数以替代集合 $ \tilde{\mathcal{G}}_t(h) $ 的指示函数，从而在期望框架中使用矩估计。
• 应用随机矩阵理论中的概率技术，特别是矩的矩与乘性混沌的研究，以控制Dirichlet多项式乘积的上界。
• 通过参数 $ \delta = 1/(\log\log P)^2 $ 控制误差项，确保误差贡献相对于主项可忽略。
• 使用条件 $ \epsilon > 20\log P \log\log P / \log T $，以确保光滑部分由截断指数级数近似时的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于典型 $ t \in [T, 2T] $，$ \max_{|h|\leq 1/2} \log|\zeta(1/2+it+ih)| $ 的精确渐近行为是什么？是否与Fyodorov–Hiary–Keating猜想一致？
• RQ2 ζ函数最大值中的第二项 $ -(3/4+o(1))\log\log\log T $ 能否被严格确立？
• RQ3 在 $ t \in [T, 2T] $ 上，积分 $ \int_{-1/2}^{1/2} |\zeta(1/2+it+ih)|^2 dh $ 的矩平均表现如何？这对其在短区间内ζ函数典型大小有何启示？
• RQ4 ζ函数能否被有效分解为光滑与粗糙部分，使得其乘积能正确捕捉ζ函数在最大值附近的统计行为？
• RQ5 在黎曼ζ函数局部最大值的背景下，随机矩阵模型的启发性方法能在多大程度上被严格化？

主要发现

• 对 $ (1+o(1))T $ 个 $ t \in [T, 2T] $，其局部最大值满足 $ \max_{|h|\leq 1/2} \log|\zeta(1/2+it+ih)| \leq \log\log T - (3/4+o(1))\log\log\log T $，在首项与第二项上均与Fyodorov–Hiary–Keating猜想完全一致。
• 积分 $ \int_{-1/2}^{1/2} |\zeta(1/2+it+ih)|^2 dh $ 的典型值为 $ \ll \frac{1}{\sqrt{\log\log T}} \log T $，小于经典二阶矩估计所预测的值，表明平均值不能代表典型值。
• 定理1中的界具有形式 $ \left( \frac{\log T}{1 + (1-q)\sqrt{\log\log T}} \right)^q $，该形式为最优，反映了ζ函数统计力学类比中的冻结相变。
• 通过选择 $ \delta = 1/(\log\log P)^2 $ 控制近似中的误差项，确保光滑近似误差的贡献为 $ \ll \frac{\log T}{(\log\log P)^2} $，可忽略不计。
• 该方法避免了远离临界线的大幅度位移，保持在 $ O(1/\log T) $ 范围内，且无需显式计算Dirichlet多项式的傅里叶变换。
• 证明依赖于将ζ函数分解为光滑与粗糙部分，其中光滑部分由截断指数级数近似，粗糙部分则通过矩估计处理。