[论文解读] On the power graph of a finite group

Min Feng, Xuanlong Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2014

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过利用循环子群上的传递定向和偏序集（poset）结构，为有限群的幂图的度量维数建立了闭式公式。证明了幂图是一个完美图、可比图，且具有完全核心，并基于其素因数分解，推导出循环群的精确度量维数值。

ABSTRACT

The power graph $\mathcal P_G$ of a finite group $G$ is the graph with the vertex set $G$, where two elements are adjacent if one is a power of the other. We first show that $\mathcal P_G$ has an transitive orientation, so it is a perfect graph and its core is a complete graph. Then we use the poset on all cyclic subgroups (under usual inclusion) to characterise the structure of $\mathcal P_G$. Finally, the closed formula for the metric dimension of $\mathcal P_G$ is established. As an application, we compute the metric dimension of the power graph of a cyclic group.

研究动机与目标

• 通过其循环子群的偏序集（poset）来表征有限群的幂图。
• 证明幂图可进行传递定向，从而确立其为具有完全核心的可比图和完美图。
• 为任意有限群的幂图的度量维数推导出闭式表达式。
• 利用其素因数分解，显式计算循环群的幂图的度量维数。

提出的方法

• 通过生成元的字典序和子群包含关系，在幂图上构造传递定向。
• 基于循环子群内生成元的索引和真子群包含关系，定义群元素上的偏序。
• 证明所得定向是传递的，并诱导出可比图结构。
• 利用循环子群的偏序集表征幂图的全局结构。
• 通过结合普遍顶点和极大对合元，建立一个分辨集。
• 应用组合群论和循环群的性质，推导出最终的闭式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限群的幂图是否为可比图，且是否可进行传递定向？
• RQ2 如何利用其循环子群的偏序集完全表征幂图的结构？
• RQ3 有限群的幂图的度量维数是多少，且能否以闭式表达？
• RQ4 循环群的幂图的度量维数如何依赖于其素因数分解？
• RQ5 对合元和普遍顶点在构造最小分辨集中的作用是什么？

主要发现

• 任何有限群的幂图均可进行传递定向，使其成为具有完全核心的可比图和完美图。
• 幂图的结构完全由其循环子群在包含关系下的偏序集决定。
• 为有限群的幂图的度量维数建立了闭式公式。
• 对于阶为 $ n = p_1^{r_1} \cdots p_t^{r_t} $ 的循环群 $ Z_n $，其度量维数为：当 $ t=1 $ 时为 $ n-1 $；当 $ t=2 $、$ p_1=2 $、$ r_1=1 $ 时为 $ n-2r_2 $；当 $ t=2 $、$ p_1=2 $、$ r_2=1 $ 时为 $ n-2r_1 $；其余情况为 $ n+1 - \prod_{i=1}^t (r_i+1) $。
• 通过普遍顶点和极大对合元的数量，结合群的素因数分解的显式依赖关系，推导出循环群的幂图的度量维数。