[论文解读] On the properties of tensor complementarity problems

Wen Zhen Yu, Chen Ling+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 15被引用 18

一句话总结

本文研究了一般闭凸尖锥上的张量互补问题（TCP），将经典非线性互补理论进行拓展。在弱于以往已知条件的共正定性条件下建立了解的存在性，分析了解集的拓扑性质，并证明了解的稳定性——这些是超越以往针对非负锥和结构化张量研究的重要进展。

ABSTRACT

Properties of solutions of the tensor complementarity problem (TCP) for structured tensors have been investigated in recent literature. In this paper, we make further contributions on this problem. Specifically, we first derive solution existence theorems for TCPs on general cones from the results studied in the nonlinear complementarity problem literature. An interesting byproduct is that conditions (e.g., strict copositivity) of solution existence results for TCPs on the nonnegative cone can be reduced to copositivity, which, to the best of our knowledge, is the weakest requirement in the current TCP literature. Moreover, we study the topological properties of the solution set and stability of the TCP at a given solution, which are not discussed before and further enrich the theory of TCPs.

研究动机与目标

• 将张量互补问题（TCP）从非负锥推广到一般闭凸尖锥。
• 弱化TCP解存在的条件，特别是将严格共正定性降低为共正定性，这是当前TCP文献中已知的最弱要求。
• 研究一般TCP解集的拓扑性质，这一主题在以往的TCP文献中尚未被探讨。
• 分析给定解点处解的稳定性，为解的鲁棒性提供新的理论洞见。

提出的方法

• 借鉴非线性互补问题（NCP）理论中的结果，特别是Gowda和Pang（1992）的研究，推导出在一般锥上TCP的解存在性定理。
• 以共正定性和严格共正定性作为解存在性的核心条件，证明在一般锥设定下共正定性已足够。
• 运用变分分析中的工具，包括切锥和法锥，研究解集的拓扑结构。
• 采用扰动分析框架来研究解的稳定性，通过归一化序列和渐近行为推导出反证法证明。
• 利用Fréchet导数以及映射$\mathcal{A} \mathbf{x}^{m-1}$的连续性，分析方向导数和稳定性条件。
• 以广义方式应用隐函数定理框架，研究当$\mathcal{A}$和$\mathbf{q}$发生小扰动时解的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 张量互补问题能否从非负锥有意义地推广到一般闭凸尖锥？
• RQ2 在一般锥设定下，TCP的解存在条件能否从严格共正定性弱化为共正定性？
• RQ3 一般TCP解集的拓扑性质（如闭性、连通性）是什么？
• RQ4 当张量$\mathcal{A}$和向量$\mathbf{q}$发生小扰动时，TCP的解如何变化？即解是否稳定？

主要发现

• 在共正定性条件下，建立了在一般锥上TCP解的存在性，该条件弱于以往研究中使用的严格共正定性。
• 对于非负锥$\mathbb{R}^n_+$的特殊情况，本文证明了$\mathcal{A}$的共正定性足以保证解的存在性，改进了早期结果。
• 在给定条件下，解集$\mathrm{SOL}(K, \mathbf{q}, \mathcal{A})$被证明是闭且有界的，确立了其拓扑正则性。
• 本文建立了解的稳定性：若$\mathcal{A}^{(l)} \to \bar{\mathcal{A}}$且$\mathbf{q}^{(l)} \to \bar{\mathbf{q}}$，则$\|\mathbf{x}^{(l)} - \bar{\mathbf{x}}\| = o(\|\mathbf{q}^{(l)} - \bar{\mathbf{q}}\| + \|\mathcal{A}^{(l)} - \bar{\mathcal{A}}\|_F)$，表明具有强稳定性。
• 在不稳定性假设下导出矛盾，证明不存在解序列发散快于扰动速度，从而确认了解的鲁棒性。
• 本文首次在一般TCP框架下分析了解的稳定性和拓扑结构，填补了当前文献中的重要空白。