[论文解读] On the range of random walk on graphs satisfying a uniform condition

Kazuki Okamura|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文在满足统一条件 (U) 的无限加权图上建立了简单随机游走范围 $ R_n $ 的弱大数定律，该条件由有效电阻的统一收敛性表征。结果表明，$ R_n/n $ 以概率集中在 $ 1 - F_2 $ 与 $ 1 - F_1 $ 之间，并构造了一个图，使得均值 $ \mathbb{E}[R_n]/n $ 在 $ 1 - F_2 $ 与 $ 1 - F_1 $ 之间振荡，证明了这些界限是紧确的。

ABSTRACT

We consider the range of random walks up to time n, R_n, on graphs satisfying a uniform condition. This condition is characterized by potential theory. Not only all vertex transitive graphs but also many non-regular graphs satisfy the condition. We show certain weak laws of R_n from above and below. We also show that there is a graph such that it satisfies the condition and a sequence of the mean of R_n/n fluctuates. By noting the construction of the graph, we see that under the condition, the weak laws are best in a sense.

研究动机与目标

• 建立满足统一条件 $(U)$ 的图上简单随机游走范围 $ R_n $ 的弱大数定律，该条件推广了正则性和空间齐次性。
• 将范围结果从 $ \mathbb{Z}^d $ 等正则图推广至非正则和非顶点传递图。
• 通过构造一个图，使得 $ \mathbb{E}[R_n]/n $ 在 $ 1 - F_2 $ 与 $ 1 - F_1 $ 之间振荡，研究弱大数定律界限的紧确性，证明这些界限无法改进。
• 通过潜在论，特别是有效电阻，表征统一条件 $(U)$，并证明其在粗等距同构下的稳定性。
• 阐明常返性/瞬时性以及返回概率在决定 $ R_n $ 渐近行为中的作用。

提出的方法

• 将统一条件 $(U)$ 定义为当 $ n \to \infty $ 时，有效电阻 $ \rho(x,n) \to \rho(x) $ 的一致收敛性，使用潜在论工具。
• 利用 Kumagai [9] 中的关系式 $ \rho(x,n)^{-1} = \mu_x P_x(T_x^+ > T_{B(x,n)^c}) $，将返回概率与电阻联系起来。
• 通过在 $ x $ 上一致的电阻估计，建立弱大数定律，即 $ P_x(R_n \geq n(1 - F_1 + \epsilon)) \to 0 $ 与 $ P_x(R_n \leq n(1 - F_2 - \epsilon)) \to 0 $。
• 构造一个图，满足 $ F_1 < F_2 $，且 $ \liminf \mathbb{E}[R_n]/n = 1 - F_2 $，$ \limsup \mathbb{E}[R_n]/n = 1 - F_1 $，采用具有不同度数的树状结构。
• 利用能量比较和已知的电阻与转移概率衰减结果，证明 $(U)$ 在粗等距同构下的稳定性。
• 将已知结果应用于 Sierpiński 垫片、Vicsek 树和 $ \mathbb{Z}^d $，证明在适当条件下它们满足 $(U)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在缺乏空间齐次性的图（如非正则或非顶点传递图）上建立范围 $ R_n $ 的弱大数定律？
• RQ2 在统一条件 $(U)$ 下，$ R_n/n $ 在概率上的最优范围是什么？该范围能否进一步改进？
• RQ3 是否存在一个满足 $(U)$ 的图，使得 $ \mathbb{E}[R_n]/n $ 不收敛？若存在，这对弱大数定律界限的紧确性意味着什么？
• RQ4 统一条件 $(U)$ 如何与有效电阻和返回概率等潜在论量相关联？
• RQ5 条件 $(U)$ 和 $ UC_{\alpha} $ 在粗等距同构下是否稳定？哪些图类满足 $(U)$？

主要发现

• 对于任意满足 $(U)$ 的图，有 $ \lim_{n\to\infty} P_x(R_n \geq n(1 - F_1 + \epsilon)) = 0 $ 与 $ \lim_{n\to\infty} P_x(R_n \leq n(1 - F_2 - \epsilon)) = 0 $，且在 $ x $ 上一致成立，上界具有指数衰减。
• 界限 $ 1 - F_2 $ 与 $ 1 - F_1 $ 是紧确的：存在一个满足 $(U)$ 的图，使得 $ \liminf_{n\to\infty} \mathbb{E}[R_n]/n = 1 - F_2 $ 且 $ \limsup_{n\to\infty} \mathbb{E}[R_n]/n = 1 - F_1 $，表明弱大数定律无法进一步改进。
• 所有顶点传递图、$ \mathbb{Z}^d $、Sierpiński 垫片与地毯、Vicsek 树以及与之粗等距同构的图均满足 $(U)$。
• 条件 $(U)$ 在粗等距同构下是稳定的：若图 $ X $ 满足 $(U)$，则任何与 $ X $ 粗等距同构的图也满足 $(U)$。
• 满足 $ UC_{\alpha} $ 且 $ \alpha > 2 $ 的图（如 $ \mathbb{Z}^d $，$ d \geq 3 $）满足 $(U)$，且常返图若满足 $ \sum_k p_k(x,x) \to \infty $ 也满足 $(U)$。
• 由瞬时 $ 4 $-正则树构造的常返树不满足 $(U)$，表明该条件非平凡，且不能由常返性单独推出。