[论文解读] On the rate of convergence of strong Euler approximation for SDEs driven by Levy processes

R. Mikulevíčius, Fanhui Xu|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文建立了由 α-稳定 Lévy 过程驱动的随机微分方程（SDEs）的强 Euler 近似方法的收敛速率，其漂移项为 Hölder 连续，扩散系数为 Lipschitz 连续。通过 Itô-Tanaka 技巧和随机积分的矩估计，证明了当 $ p < \beta $ 时，$ L_p $-收敛速率为 $ n^{-p\beta/\alpha} $，将先前结果推广至非退化、非高斯 Lévy 噪声的情形。

ABSTRACT

SDE driven by an $α$-stable process, $α\in \lbrack 1,2),$ with Lipshitz continuous coefficient and $β$-Hölder drift is considered. The existence and uniqueness of a strong solution is proved when $β&gt;1-α/2$ by showing that it is $L_{p}$-limit of Euler approximations. The $L_{p}$-error (rate of convergence) is obtained for a nondegenerate truncated and nontruncated driving process. The rate in the case of Lipshitz continuous coefficients is derived as well.

研究动机与目标

• 建立由非退化、Lipschitz 扩散系数和 β-Hölder 连续漂移项驱动的 SDE 的强 Euler 近似方法的收敛速率。
• 将现有收敛结果推广至驱动 Lévy 过程在 $ \beta < \beta $ 阶以上无有限矩的情形，特别是当 $ \beta > 1 - \alpha/2 $ 时。
• 为截断与非截断 Lévy 过程推导 $ L_p $-误差界，改进了文献 [9] 中关于截断情形的结果。
• 在漂移和扩散系数的正则性假设最小的前提下，通过 Euler 近似在 $ L_p $-极限下的存在性与路径唯一性，证明强解的存在性与唯一性。

提出的方法

• 应用 Itô-Tanaka 技巧，通过在 Hölder 空间中求解后向 Kolmogorov 方程，将 Hölder 连续漂移 $ b(x) $ 表示为类似 Lipschitz 的对象。
• 利用 Kunita 不等式和关于泊松随机测度的随机积分的矩估计，控制 Euler 近似误差的 $ L_p $-范数。
• 对 Lévy 强度 $ \rho(y) $ 施加正则性条件，包括在单位球面上的 0-齐次性与 Hölder 连续性，以确保对跳跃测度的统一控制。
• 通过引理 11 的局部到整体论证，将小时间区间上的局部矩估计扩展至 $[0,1]$ 上的全局界。
• 通过在 $ L_p $ 范数下有界真实解与 Euler 近似之间的差值，利用 SDE 在扰动下的稳定性，推导收敛速率。
• 同时考虑非截断 Lévy 过程 $ L_t $（当 $ p < \alpha $ 时）与截断版本 $ L_t^0 $（所有矩均存在），分别推导其对应的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于由 $ \alpha $-稳定 Lévy 过程驱动、$ \beta $-Hölder 连续漂移与 Lipschitz 扩散系数的 SDE，Euler 格式的 $ L_p $-收敛速率是多少？
• RQ2 收敛速率如何依赖于稳定性指数 $ \alpha \in [1,2) $、Hölder 指数 $ \beta $ 以及矩阶数 $ p $？
• RQ3 Itô-Tanaka 技巧能否推广至具有非高斯 Lévy 噪声的 SDE，以建立强解的存在性与收敛速率？
• RQ4 在后者缺乏 $ \alpha $-矩的情形下，截断与非截断 Lévy 过程的收敛速率有何不同？
• RQ5 为确保 Euler 近似误差中的一致控制，Lévy 强度 $ \rho(y) $ 需要满足哪些正则性条件？

主要发现

• 对于非截断 Lévy 过程 $ L_t $，当 $ p < \alpha $ 且 $ \beta > 1 - \alpha/2 $ 时，Euler 近似误差满足 $ \mathbf{E}[\sup_t |X_t^n - X_t|^p] \leq C n^{-p\beta/\alpha} $。
• 对于截断 Lévy 过程 $ L_t^0 $，收敛速率提升为：当 $ 2 \leq p < 2/\beta $ 时，$ \mathbf{E}[\sup_t |Y_t^n - Y_t|^p] \leq C n^{-p\beta/2} $；当 $ p \geq 2/\beta $ 时，$ C n^{-1} $，与文献 [9] 结果一致并加以推广。
• 在 $ \beta > 1 - \alpha/2 $、$ G $ 一致非退化且 Lipschitz、$ b $ 为 $ \beta $-Hölder 连续的条件下，SDE (1.1) 的强解在 $ L_p $ 意义下存在且唯一，且 $ p < \alpha $。
• Euler 近似 $ X_t^n $ 与 $ Y_t^n $ 在 $ L_p $ 中为柯西序列，其极限分别满足相应的 SDE (1.1) 与 (1.4)。
• 收敛速率 $ n^{-p\beta/\alpha} $ 反映了跳跃活动性（由 $ \alpha $ 控制）与漂移光滑性（由 $ \beta $ 控制）之间的相互作用，当重尾情形 $ \alpha \to 1^+ $ 时收敛更慢。
• 本文证明，由于截断情形下所有矩均存在，截断情况下的 $ L_p $-误差界比非截断情形更紧致。