[论文解读] On the regularity of weak solutions to Burgers equation with finite entropy production

Xavier Lamy, Félix Otto|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 32被引用 14

一句话总结

本文证明了，对于具有有限熵产生率的伯吉斯方程弱解，在熵产生测度具有有限 (1+α)-维上密度（α>0）的点上，解具有 Hölder 正则性。研究证明，非勒贝格点的集合的 Hausdorff 维数至多为一，从而通过将局部正则性与熵产生测度的几何结构相联系，解决了非熵解的关键正则性问题。

ABSTRACT

Bounded weak solutions of Burgers' equation $\\partial_tu+\\partial_x(u^2/2)=0$ that are not entropy solutions need in general not be $BV$. Nevertheless it is known that solutions with finite entropy productions have a $BV$-like structure: a rectifiable jump set of dimension one can be identified, outside which $u$ has vanishing mean oscillation at all points. But it is not known whether all points outside this jump set are Lebesgue points, as they would be for $BV$ solutions. In the present article we show that the set of non-Lebesgue points of $u$ has Hausdorff dimension at most one. In contrast with the aforementioned structure result, we need only one particular entropy production to be a finite Radon measure, namely $\\mu=\\partial_t (u^2/2)+\\partial_x(u^3/3)$. We prove H\\"older regularity at points where $\\mu$ has finite $(1+\\alpha)$-dimensional upper density for some $\\alpha>0$. The proof is inspired by a result of De Lellis, Westdickenberg and the second author : if $\\mu_+$ has vanishing 1-dimensional upper density, then $u$ is an entropy solution. We obtain a quantitative version of this statement: if $\\mu_+$ is small then $u$ is close in $L^1$ to an entropy solution.

研究动机与目标

• 研究不具熵解性质但具有有限熵产生率的有界弱解的正则性。
• 确定在跳跃集之外的所有点是否均为解的勒贝格点，如同 BV 解的情形一样。
• 以 Hausdorff 维数衡量非勒贝格点集合的大小。
• 建立熵产生率较小与 L¹ 范数下解接近熵解之间的定量联系。
• 通过二次熵产生测度深化对解精细结构的理解。

提出的方法

• 作者分析熵产生测度 μ = ∂ₜ(u²/2) + ∂ₓ(u³/3)，重点关注其 (1+α)-维上密度。
• 采用 De Lellis、Westdickenberg 和 Otto 的结果的定量版本：若 μ₊ 的 1-维上密度为零，则 u 为熵解。
• 证明依赖于爆破论证，并构造相关哈密顿-雅可比方程的粘性解。
• 关键步骤在于证明：在熵产生测度 μ 的 (1+α)-维上密度有限的点上，解 u 是 Hölder 连续的。
• 通过在时间和空间上的平均，利用 u 的有界性，推导出时间正则性。
• 论证使用 Hopf-Lax 公式和粘性解的 Lipschitz 估计，以控制 u 的空间与时间变化。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有有限熵产生率的弱解，其跳跃集之外的每个点是否均为解的勒贝格点？
• RQ2 此类解的非勒贝格点集合的 Hausdorff 维数是多少？
• RQ3 在熵产生测度 μ 的 (1+α)-维上密度有限（α>0）的点上，是否可建立 Hölder 正则性？
• RQ4 熵产生测度的大小如何控制解与熵解之间的 L¹ 距离？
• RQ5 二次熵产生测度 μ = ∂ₜ(u²/2) + ∂ₓ(u³/3) 在多大程度上决定了弱解的精细结构？

主要发现

• 解 u 的非勒贝格点集合的 Hausdorff 维数至多为一。
• 在熵产生测度 μ 的 (1+α)-维上密度有限（α>0）的点上，解 u 是 Hölder 连续的。
• 在这些点上，解 u 具有指数为 α/(α+256) 的 Hölder 连续性。
• 建立了结果的定量版本：若 μ₊ 的 (1+α)-维上密度较小，则 u 在 L¹ 范数下接近熵解。
• 本文确认，熵产生测度 μ 足够控制 u 的正则性，而无需依赖完整的 BV 结构。
• 分析表明，奇点集 J 是可求长的，且 u 在 J 上具有单侧迹，与 BV 类似行为一致。