[论文解读] On the Reidemeister spectrum and the $R_{\infty}$ property for some free nilpotent groups

E. G. Kukina, В. А. Романьков|ArXiv.org|Mar 26, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文确定了低秩、低类情形下自由幂零群 $N_{rc}$（秩 $r$，类 $c$）的 Reidemeister 谱，包括 $c=1$、$r\in\mathbb{N}$；$c=2$、$r=2,3$；$c=3$、$r=2$ 的情况，并证明所有秩为 2、类 $c\geq 4$ 的自由幂零群 $N_{2c}$ 均满足 $R_\infty$ 性质——即每个自同构都有无穷多个扭曲共轭类。该结果进一步推广至所有秩为 2、类 $t\geq 2$ 的自由可解群 $S_{2t}$，包括自由幂交换群 $M_2$，以及秩更高、类足够大的自由可解群。

ABSTRACT

We describe the Reidemeister spectrum $Spec_RG$ for $G = N_{rc},$ the free nilpotent group of rank $r$ and class $c,$ in the cases: $r \in {\mathbb N}$ and $c = 1;$ $r = 2, 3$ and $c = 2;$ $ r = 2$ and $c = 3,$ and prove that any group $N_{2c}$ for $c \geq 4$ satisfies to the $R_{\infty}$ property. As a consequence we obtain that every free solvable group $S_{2t}$ of rank 2 and class $t \geq 2$ (in particular the free metabelian group $M_2 = S_{22}$ of rank 2) satisfies to the $R_{\infty}$ property. Moreover, we prove that any free solvable group $S_{rt}$ of rank $r \geq 2$ and class $t$ big enough also satisfies to the $R_{\infty}$ property.

研究动机与目标

• 确定自由幂零群 $N_{rc}$ 在低秩、低类情形下的 Reidemeister 谱 $\mathrm{Spec}_R(G)$。
• 建立所有秩为 2、类 $c\geq 4$ 的自由幂零群 $N_{2c}$ 的 $R_\infty$ 性质，完成秩为 2 情形的分类。
• 将 $R_\infty$ 性质推广至秩 $r\geq 2$、类 $t$ 足够大的自由可解群 $S_{rt}$，包括自由幂交换群 $M_2$。
• 通过幂零商群的结构及自同构诱导的交换化作用，提供自由可解群 $R_\infty$ 性质的纯代数证明。

提出的方法

• 通过计算交换化 $A = G/G'$ 的指标 $[A : L(A,\varphi)]$ 分析 Reidemeister 谱，其中 $L(A,\varphi) = \mathrm{Im}(\varphi - \mathrm{id})$。
• 利用 $N_{rc}$ 的上中心列 $\zeta_i N$，递归分析自同构在逐层商群 $A_i = \zeta_{i+1}N / \zeta_i N$ 上的诱导作用。
• 应用判别准则：若 $\mathrm{Fix}_{\varphi_i}(N_i) = 1$ 且 $\det(\bar{\varphi}_0 - E) = 0$，则 $R(\varphi) = \infty$。
• 使用权为 4 的基本换位子，计算在 $\zeta_1 N$（下中心列的第三项）上诱导自同构 $\bar{\varphi}_0$ 的矩阵。
• 通过直接矩阵计算，证明 $3\times 3$ 矩阵 $B$ 表示 $\bar{\varphi}_0$ 在 $\zeta_1 N$ 上满足 $\det(B - E) = 0$，从而推出 Reidemeister 数为无穷。
• 通过商映射将结果应用于自由可解群：$S_{rt} \to N_{rt}/\gamma_{k+1}S_{rt}$，表明若在幂零商群上 $R(\varphi) = \infty$，则在可解群上也成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $c=1$、$r=2,3$ 且 $c=2$、$r=2$ 和 $c=3$ 时，自由幂零群 $N_{rc}$ 的 Reidemeister 谱 $\mathrm{Spec}_R(N_{rc})$ 是什么？
• RQ2 所有秩为 2、类 $c \geq 4$ 的自由幂零群 $N_{2c}$ 是否满足 $R_\infty$ 性质？
• RQ3 所有秩为 2、类 $t \geq 2$ 的自由可解群 $S_{2t}$ 是否满足 $R_\infty$ 性质？
• RQ4 自由可解群 $S_{rt}$ 在哪些 $r$ 和 $t$ 值下满足 $R_\infty$ 性质？

主要发现

• 自由阿贝尔群 $N_{r1}$（秩 $r$）的 Reidemeister 谱为 $\mathrm{Spec}_R(N_{r1}) = \mathbb{N} \cup \{\infty\}$（当 $r \geq 2$ 时），$r=1$ 时为 $\{2\} \cup \{\infty\}$。
• 对于 $N_{22}$，谱为 $\mathrm{Spec}_R(N_{22}) = \{2n-1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{4n \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{\infty\}$。
• 对于 $N_{32}$，谱为 $\mathrm{Spec}_R(N_{32}) = \{2n-1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{4n \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{\infty\}$。
• 对于 $N_{23}$，谱为 $\mathrm{Spec}_R(N_{23}) = \{2n-1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{4n \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{\infty\}$。
• 所有秩为 2、类 $c \geq 4$ 的自由幂零群 $N_{2c}$ 均满足 $R_\infty$ 性质，通过证明在 $\zeta_1 N$ 上诱导自同构的矩阵满足 $\det(B - E) = 0$ 得证。
• 所有秩为 2、类 $t \geq 2$ 的自由可解群 $S_{2t}$ 均满足 $R_\infty$ 性质，包括自由幂交换群 $M_2 = S_{22}$，因其存在满射 $S_{2t} \to N_{24}$，且在商群上 $R_\infty$ 成立。