[论文解读] On the reliable long-term simulation of chaos of Lorenz equation in the interval [0,10000]

Shijun Liao, Peifeng Wang|arXiv (Cornell University)|May 18, 2013

Model Reduction and Neural Networks被引用 4

一句话总结

本文利用 TH-A1 超算的 1200 个 CPU，在 4180 位高精度下采用 3500 阶泰勒级数方法，对洛伦兹混沌系统在 [0,10000] 区间内实现了数学上可靠的长期模拟。该模拟在前所未有的时间区间内实现了数值可靠性，但表明由于热涨落将微观不确定性放大为宏观发散，此类预测可能缺乏物理意义。

ABSTRACT

Using 1200 CPUs of the National Supercomputer TH-A1 and a parallel integral algorithm based on the 3500th-order Taylor expansion and the 4180-digit multiple precision data, we have done a reliable simulation of chaotic solution of Lorenz equation in a rather long interval [0,10000] (Lorenz time unit). Such a kind of mathematically reliable chaotic simulation has never been reported. It provides us a numerical benchmark for mathematically reliable long-term prediction of chaos. Besides, it also proposes a safe method for mathematically reliable simulations of chaos in a finite but long enough interval. In addition, our very fine simulations suggest that such a kind of mathematically reliable long-term prediction of chaotic solution might have no physical meanings, because the inherent physical micro-level uncertainty due to thermal fluctuation might quickly transfer into macroscopic uncertainty so that trajectories for a long enough time would be essentially uncertain in physics.

研究动机与目标

• 在扩展区间内实现洛伦兹方程混沌解的数学上可靠的长期模拟。
• 为确定性系统中混沌的可靠长期预测建立数值基准。
• 研究此类数学上可靠的模拟在固有热涨落面前是否仍具有物理相关性。
• 开发一种安全、高精度的计算框架，用于在有限但长时间区间内模拟混沌系统。

提出的方法

• 采用基于 3500 阶泰勒展开的并行积分算法，对洛伦兹方程进行数值积分。
• 使用 4180 位多精度算术，以最大限度减少长时间积分中的截断误差和舍入误差。
• 在国家超算 TH-A1 的 1200 个 CPU 上运行模拟，以实现高计算吞吐量。
• 通过高阶泰勒级数和高精度算术控制局部和全局误差，确保数学可靠性。
• 通过在多个精度级别和计算运行之间验证一致性，验证模拟的可靠性。
• 利用洛伦兹系统的结构特性，指导高阶泰勒方法中的步长控制和误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在长达 [0,10000] 的时间区间内实现洛伦兹系统的数学上可靠模拟？
• RQ2 为维持如此长时间区间的数值可靠性，需要哪些计算技术？
• RQ3 数学上可靠的长期轨迹是否存在，是否意味着混沌系统具有物理可预测性？
• RQ4 微观层面的热涨落在多大程度上限制了长期确定性模拟的物理相关性？

主要发现

• 该模拟使用 3500 阶泰勒展开和 4180 位精度，在 [0,10000] 区间内实现了数学可靠性，为文献中的首次成果。
• 在 TH-A1 超算上使用 1200 个 CPU，使得此类高精度、长时间模拟成为可能。
• 结果表明，通过足够的精度和并行化，数学上可靠的混沌长期预测在计算上是可行的。
• 尽管具有数学可靠性，本研究表明此类模拟可能因微观热涨落迅速放大为宏观不确定性，而缺乏物理意义。
• 研究结果表明，即使确定性混沌可以被可靠模拟，物理系统在足够长的时间尺度上仍可能根本不可预测。
• 本研究建立了可靠混沌模拟的新基准，并突显了混沌系统中数学可预测性与物理可预测性之间的差距。