[论文解读] On the role of nonlinear correlations in reduced-order modeling

Jared Callaham, Steven L. Brunton+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 90被引用 10

一句话总结

本文提出利用本征正交分解（POD）系数中的非线性相关性，识别非定常流场中的低维吸引子流形，从而实现稳定、可解释的降阶模型。通过将动力学建模在由两个Stuart-Landau振子生成的环面之上，该方法以极少的自由度实现了对准周期性剪切驱动腔流的精确、稳定建模。

ABSTRACT

A major goal for reduced-order models of unsteady fluid flows is to uncover and exploit latent low-dimensional structure. Proper orthogonal decomposition (POD) provides an energy-optimal linear basis to represent the flow kinematics, but converges slowly for advection-dominated flows and tends to overestimate the number of dynamically relevant variables. We show that nonlinear correlations in the temporal POD coefficients can be exploited to identify the underlying attractor, characterized by a minimal set of driving modes and a manifold equation for the remaining modes. By viewing these nonlinear correlations as an invariant manifold reduction, this least-order representation can be used to stabilize POD-Galerkin models or as a state space for data-driven model identification. In the latter case, we use sparse polynomial regression to learn a compact, interpretable dynamical system model from the time series of the active modal coefficients. We demonstrate this perspective on a quasiperiodic shear-driven cavity flow and show that the dynamics evolve on a torus generated by two independent Stuart-Landau oscillators. These results emphasize the importance of nonlinear dimensionality reduction to reveal underlying structure in complex flows.

研究动机与目标

• 为解决在对流主导流场中线性降阶模型的局限性，其中本征正交分解（POD）收敛缓慢且高估了相关模态的数量。
• 利用POD系数中的非线性相关性，识别出一组最小的动态活跃模态，以及剩余模态的低维流形。
• 通过将动力学投影到不变流形上，构建稳定的数据驱动降阶模型，降低模型复杂度并提高精度。
• 通过在活跃模态系数上应用稀疏多项式回归，实现可解释的系统辨识，获得紧凑的动力系统。
• 证明准周期性流场在由两个独立Stuart-Landau振子控制的环面上演化，揭示其内在的低维结构。

提出的方法

• 对非定常流场应用本征正交分解（POD），将其分解为空间模态的线性基，并提取时变系数。
• 分析POD系数中的时间相关性，检测非线性依赖关系，表明存在低维吸引子流形。
• 识别出一组驱动模态，其动力学主导系统行为，其余模态受多项式流形方程约束。
• 通过将POD-伽辽金动力学限制在所识别的不变流形上，构建降阶模型，提升稳定性。
• 使用稀疏非线性动力系统辨识（SINDy）从活跃模态系数中学习紧凑且可解释的动力系统。
• 通过从低维动力学重构全流场并与直接数值模拟（DNS）比较，验证模型性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 POD系数中的非线性相关性是否能揭示复杂准周期性流场的真实内在维数？
• RQ2 如何利用POD系数中的非线性流形结构来稳定POD-伽辽金模型？
• RQ3 在活跃模态上，多大程度上可利用稀疏多项式回归识别出低维动力系统？
• RQ4 在对流主导流场中，控制动力学的吸引子具有何种几何结构（如环面）？
• RQ5 该模型能否准确重构全流场，并捕捉如三重共振等非线性相互作用？

主要发现

• POD系数中的非线性相关性表明，准周期性剪切驱动腔流演化于二维环面上，表明存在两个独立振子的最小集合。
• 动力学可由两个Stuart-Landau振子良好描述，能捕捉主导频率分量及其相互作用。
• 该模型仅使用四个活跃自由度，即实现了全流场的稳定、精确重构，显著降低了模型复杂度。
• 稀疏多项式回归从活跃模态系数中识别出紧凑且可解释的动力系统，具有明确的物理解释。
• 不变流形约化通过消除虚假的高频振荡和能量增长，稳定了POD-伽辽金模型。
• 对基流的线性稳定性分析无法捕捉低频内腔振荡和高次谐波，而平均流分析与非线性相关性分析则能有效揭示这些特征。