[论文解读] On the SAV-DG method for a class of fourth order gradient flows

Hailiang Liu, Peimeng Yin|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 23被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种混合SAV-DG方法，将标量辅助变量（SAV）方法与无罚函数间断伽辽金（DG）空间半隐式格式相结合，用于四阶梯度流。通过在分段多项式空间中预先计算辅助变量，该方法将共轭梯度求解器的计算复杂度从$O(\mathcal{N}^2)$降低至$O(\mathcal{N})$，从而实现了高效、无条件能量稳定的模拟，具有高精度和优于完整增广系统或标准简化系统的性能表现。

ABSTRACT

For a class of fourth order gradient flow problems, integration of the scalar auxiliary variable (SAV) time discretization with the penalty-free discontinuous Galerkin (DG) spatial discretization leads to SAV-DG schemes. These schemes are linear and shown unconditionally energy stable. But the reduced linear systems are rather expensive to solve due to the dense coefficient matrices. In this paper, we provide a procedure to pre-evaluate the auxiliary variable in the piecewise polynomial space. As a result, the computational complexity of $O(\mathcal{N}^2)$ reduces to $O(\mathcal{N})$ when exploiting the conjugate gradient (CG) solver. This hybrid SAV-DG method is more efficient and able to deliver satisfactory results of high accuracy. This was also compared with solving the full augmented system of the SAV-DG schemes.

研究动机与目标

• 开发一种针对由Swift-Hohenberg方程和扩展Fisher-Kolmogorov方程等控制的四阶梯度流的高效、能量稳定数值格式。
• 解决由SAV-DG格式产生的密集线性系统在简化系统中带来的高计算成本问题。
• 在保持无条件能量稳定性的同时，将共轭梯度求解器的计算复杂度从$O(\mathcal{N}^2)$降低至$O(\mathcal{N})$。
• 在精度、稳定性与效率方面，比较混合SAV-DG方法与完整增广系统及标准简化SAV-DG格式的性能表现。

提出的方法

• 将标量辅助变量（SAV）方法与无罚函数间断伽辽金（DG）空间半隐式格式相结合，构建能量稳定的SAV-DG格式。
• 通过线性DG求解器在分段多项式空间中预先计算辅助变量$r^{n+1}$，实现时间无关、稀疏的系数矩阵。
• 构建一种混合SAV-DG格式，通过求解具有稀疏、时间无关矩阵的简化线性系统，利用共轭梯度求解器实现$O(\mathcal{N})$复杂度。
• 采用SAV方法将非线性项转化为二次形式，从而实现线性、无条件能量稳定的时空离散格式。
• 比较三种格式：(1) 使用密集矩阵的简化SAV-DG，(2) 使用稀疏矩阵的完整增广SAV-DG，以及(3) 通过预先计算$r^{n+1}$的混合SAV-DG。
• 采用两步法实现混合方法：首先通过线性DG求解预先计算$r^{n+1}$，然后以$O(\mathcal{N})$的计算成本求解所得线性系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不牺牲能量稳定性的前提下，降低求解四阶梯度流SAV-DG格式的计算成本？
• RQ2 在分段多项式空间中预先计算辅助变量是否能显著降低计算复杂度？
• RQ3 在精度与效率方面，混合SAV-DG方法与完整增广系统及标准简化SAV-DG格式相比表现如何？
• RQ4 混合SAV-DG方法能否在保持高阶精度与无条件能量稳定性的同时，实现$O(\mathcal{N})$的计算复杂度？

主要发现

• 通过在分段多项式空间中预先计算辅助变量$r^{n+1}$，混合SAV-DG方法将共轭梯度求解器的计算复杂度从$O(\mathcal{N}^2)$降低至$O(\mathcal{N})$。
• 数值结果表明，混合SAV-DG方法在三种格式中表现最佳，CPU时间呈$O(\mathcal{N})$量级增长，且当$N=64$时收敛阶数接近1.01。
• 数值实验验证了该方法在Swift-Hohenberg方程与扩展Fisher-Kolmogorov方程上具有高精度，并能无条件保持能量耗散律。
• 与标准简化SAV-DG（使用密集矩阵）相比，该方法更高效；与完整增广系统相比，其计算成本相当，但实际性能更优。
• 预计算过程确保系数矩阵保持稀疏且与时间无关，从而支持使用共轭梯度求解器实现高效迭代求解。