[论文解读] On the Shinbrot's criteria for energy equality to Newtonian fluids: A simplified proof, and an extension of the range of application

H. Beirão da Veiga, Jiaqi Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文通过将辛布罗特的能量等式准则简化为利翁-普罗迪的 $L^4$ 结果，提供了一种简化证明，适用于勒雷-霍普夫解的纳维-斯托克斯方程。此外，该准则被推广至 $r \in (3,4)$ 范围，表明当 $u \in L^{r/(r-3)}(0,T; L^r\left(\Omega\right))$ 时，能量等式成立，且该条件在 $r < 4$ 时比经典的 $2/p + 2/r = 1$ 条件更严格，但仍能保证在端点 $r=3$ 和 $r=\infty$ 处的正则性。证明依赖于插值不等式，且极为简洁而富有洞察力。

ABSTRACT

We show that the classical Shinbrot's criteria to guarantee that a Leray-Hopf solution satisfies the energy equality follows trivially from the $L^4( (0\,,T) imesΩ))$ Lions-Prodi particular case. Moreover we extend Shinbrot's result to space coefficients $ r \in (3,\,4)\,.$ In this last case our condition coincides with Shinbrot condition for $r=4$, but for $r&lt;4$ it is more restrictive than the classical one, $ 2/p + 2/r = 1\,.$ It looks significant that in correspondence to the extreme values $r=3$ and $r=\infty$, and just for these two values, the conditions become respectively $u \in L^\infty(L^3)$ and $u \in L^2(L^\infty)$, which imply regularity by appealing to classical Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin (L-P-S) type conditions. However, for values $r\in (3,\infty)$ the L-P-S condition does not apply, even for the more demanding case $\,3

研究动机与目标

• 提供辛布罗特关于纳维-斯托克斯方程弱解中能量等式经典准则的更简化、更清晰的证明。
• 将辛布罗特的结果从 $r \geq 4$ 推广至 $r \in (3,4)$ 范围，其中经典条件 $2/p + 2/r = 1$ 已不再充分。
• 证明在 $r \in (3,4)$ 范围内，尽管新条件比经典条件更严格，但仍可通过拉迪亚-普罗迪-塞林条件在端点 $r=3$ 和 $r=\infty$ 处蕴含正则性。
• 强调插值技术（特别是 $L^\infty(L^2)$ 和 $L^2(L^6)$）在以最小技术成本推导这些结果中的重要性。

提出的方法

• 通过在 $L^\infty(L^2)$ 与 $L^r(L^r)$ 之间进行插值，将辛布罗特在 $r \geq 4$ 时的 $L^{2r/(r-2)}(L^r)$ 条件简化为利翁-普罗迪的 $L^4$ 结果。
• 应用插值不等式 $\|u\|_{L^4} \leq \|u\|_{L^6}^{3(4-r)/(2(6-r))} \|u\|_{L^r}^{r/(2(6-r))}$，其中 $r \in [3,4]$。
• 使用 Hölder 不等式，取指数 $s = (6-r)/(3(4-r))$ 和 $s' = (6-r)/(2(r-3))$，以控制 $u$ 的 $L^4(L^4)$ 范数。
• 通过证明在新可积性条件 $u \in L^{r/(r-3)}(0,T; L^r(\Omega))$ 下，$u$ 的 $L^4(L^4)$ 范数有限，从而建立能量等式，其中 $r \in (3,4]$。
• 通过辛布罗特数 $\theta(p,r) = 2/p + 2/r$ 将新条件与经典拉迪亚-普罗迪-塞林条件及先前基于 $W^{1,q}$ 的准则进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用已知的插值技术，以更简单的方式重新证明辛布罗特关于纳维-斯托克斯解中能量等式的准则？
• RQ2 辛布罗特的准则是否可从 $r \geq 4$ 推广至 $r \in (3,4)$ 范围？若可，其精确可积性条件为何？
• RQ3 与经典 $2/p + 2/r = 1$ 条件及拉迪亚-普罗迪-塞林正则性准则相比，$r \in (3,4)$ 范围内的新条件在强度上如何？
• RQ4 为何新条件在端点 $r=3$ 和 $r=\infty$ 处与已知正则性条件一致？这对解空间的结构有何启示？

主要发现

• 对于 $r \geq 4$，经典辛布罗特准则（$u \in L^{2r/(r-2)}(0,T; L^r(\Omega))$）可直接通过在 $L^\infty(L^2)$ 与 $L^r(L^r)$ 之间插值得到利翁-普罗迪的 $L^4$ 结果，从而显而易见。
• 对于 $r \in (3,4]$，本文建立了一个新的充分条件：$u \in L^{r/(r-3)}(0,T; L^r(\Omega))$，该条件可确保能量等式成立，且在 $r < 4$ 时比经典条件 $2/p + 2/r = 1$ 更为严格。
• 在端点处，新条件分别简化为 $u \in L^\infty(L^3)$（当 $r=3$ 时）和 $u \in L^2(L^\infty)$（当 $r=\infty$ 时），两者均已被证明可通过拉迪亚-普罗迪-塞林条件蕴含正则性。
• 辛布罗特数 $\theta(p,r) = 2/p + 2/r$ 在 $r \geq 4$ 时为 1，在 $r \in (3,4]$ 时为 $2 - 4/r$，表明随着 $r$ 低于 4，条件的强度逐渐减弱。
• 扩展情形的证明依赖于在 $L^2(L^6)$ 与 $L^r(L^r)$ 之间插值，随后应用 Hölder 不等式，其简洁性远超先前方法。
• 在 $r \in (3,4)$ 范围内，该结果具有新颖性，此前尚无研究在 $r < 4$ 的 $L^p(L^r)$ 可积性条件下建立能量等式。