[论文解读] On the structure of prime-detecting quasimodular forms in higher levels

Yeong-Wook Kwon, Y. P. Lee|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2026

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 0

一句话总结

该论文证明在 Γ0(N) 上任意素数探测的拟模形式，位于拟模 Eisenstein 系列和拟模 oldforms 的和中，利用 ℓ-进表示与字符线性独立性；并且对非素数探测形式的消零素数给出界限。

ABSTRACT

Craig, van Ittersum, and Ono conjectured that every prime-detecting quasimodular form of level $1$ is a quasimodular Eisenstein series. This conjecture was proved by Kane--Krishnamoorthy--Lau and by van Ittersum--Mauth--Ono--Singh independently. However, in higher levels, prime-detecting quasimodular forms need not be Eisenstein. Recently, Kane, Krishnamoorthy, and Lau formulated a natural higher level analogue of the above conjecture and proved it by analytic methods. In a similar direction, but via an alternative approach based on the independence of characters of $\ell$-adic Galois representations, we prove that any prime-detecting quasimodular form on $Γ_{0}(N)$ belongs to the direct sum of the spaces of quasimodular Eisenstein series and quasimodular oldforms. Moreover, for a quasimodular form $f$ that is not prime-detecting, we give an upper bound for the number of primes $p$ less than $X$ for which the $p$-th Fourier coefficient of a quasimodular form vanishes.

研究动机与目标

• 推动在等级 1 之外研究素数探测拟模形式及其结构分解的研究动机。
• 探究在 Γ0(N) 上的素数探测拟模形式是否必须落在 Eisenstein 加 oldforms 的空间中。
• 探索傅里叶系数在素数处的消零的后果，并将其与 Galois 表示联系起来。

提出的方法

• 将 Γ0(N) 上的拟模形式空间分解为 Eisenstein、new cusp 与 old cusp 成分。
• 对模形式附着的 ℓ-进 Galois 表示与字符的线性独立性，用以约束 new cusp 部分。
• 应用 θ-字符的独立性推导出素数探测形式的 new cusp 成分为平凡。
• 证明素数消零模式意味着非素数探测形式的系数密度非零。
• 建立 ΩN = ΩN ∩ (Ẽ(N) ⊕ S̃old(N))。
• 在额外假设下推导推论并给出零素数集合的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个在 Γ0(N) 上的素数探测拟模形式是否都落在拟模 Eisenstein 与 oldforms 的和之中？
• RQ2 ℓ-进 Galois 表示与字符线性独立性在约束素数探测拟模形式的 cusp 部分方面的作用是什么？
• RQ3 对于不是素数探测的拟模形式，满足 a_f(p) = 0 的素数 p 的分布可以说些什么？

主要发现

• 在 Γ0(N) 上的素数探测拟模形式的空间包含在拟模 Eisenstein 系列与拟模 oldforms 的直接和中。
• 推论 1.2 表明猜想 1.1 成立：ΩN = ΩN ∩ (Ẽ(N) ⊕ S̃old(N))。
• 定理 1.3 在温和假设下给出 a_f(p) ≠ 0 的素数的正致密度下界，同时在 f 仅为 Eisenstein 与非 CM Hecke 本征形式之和且满足某些不共轭条件时，对零集给出上界。
• 引理表明 oldforms 对素数 p ∤ N 的傅里叶系数消零，而某些 Eisenstein 型分量在这些素数处也具有消零行为。
• proofs 将拟模形式的分解与 Galois 表示的字符线性独立性以及 GL2 的强唯一性相结合。