[论文解读] On the Time Dependent Gross Pitaevskii- and Hartree Equation

Peter Pickl|ArXiv.org|Aug 8, 2008

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文严格推导了含时依赖外势的N体薛定谔系统中，时间依赖的Gross-Pitaevskii方程与Hartree方程作为有效平均场极限的结果。在相互作用范围与耦合强度适当缩放下，证明了凝聚态随时间演化为由相互作用缩放参数β决定的非线性方程所描述的凝聚态，且在衰减条件下，粒子密度矩阵与时间一致收敛。

ABSTRACT

We are interested in solutions $Ψ_t$ of the Schrödinger equation of $N$ interacting bosons under the influence of a time dependent external field, where the range and the coupling constant of the interaction scale with $N$ in such a way, that the interaction energy per particle stays more or less constant. Let $\mathcal{N}^{ϕ_0}$ be the particle number operator with respect to some $ϕ_0\in L^2(\mathbb{R}^3 o\mathbb{C})$. Assume that the relative particle number of the initial wave function $N^{-1}< Ψ_0,\mathcal{N}^{ϕ_0}Ψ_0>$ converges to one as $N o\infty$. We shall show that we can find a $ϕ_t\in L^2(\mathbb{R}^3 o\mathbb{C})$ such that $\lim_{N o\infty}N^{-1}< Ψ_t,\mathcal{N}^{ϕ_t}Ψ_t>=1$ and that $ϕ_t$ is -- dependent of the scaling of the range of the interaction -- solution of the Gross-Pitaevskii or Hartree equation. We shall also show that under additional decay conditions of $ϕ_t$ the limit can be taken uniform in $t

研究动机与目标

• 推导在时间依赖外势下，大量相互作用玻色子系统的有效时间依赖平均场方程（Gross-Pitaevskii或Hartree方程）。
• 分析相互作用势的缩放行为，使得当N → ∞时，每粒子相互作用能保持恒定。
• 证明初始时刻的凝聚态在后续时刻仍演化为凝聚态，且凝聚态波函数满足非线性薛定谔方程。
• 在凝聚态波函数衰减假设下，建立相对粒子数与k体密度矩阵在时间上的一致收敛性。
• 推广先前结果，包含时间依赖外势与对初始波函数的更弱假设，包括β = 1时的硬核相互作用。

提出的方法

• 使用投影算符形式在Fock空间中定义粒子数算符与凝聚态投影。
• 应用约化密度矩阵的层次方程，通过能量方法与对易子展开推导估计式。
• 对相互作用势进行微观分析，特别关注散射长度及其与N和β的缩放关系。
• 利用分部积分与对称性论证控制能量估计中的误差项。
• 引入含凝聚态波函数的修正能量泛函，以追踪系统演化。
• 通过控制真实N体态与投影凝聚态之间差异，建立k体密度矩阵的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种相互作用范围与耦合强度的缩放下，玻色子的N体薛定谔方程收敛于平均场方程？
• RQ2 有效平均场势如何依赖于相互作用缩放参数β？在不同区域（β < 0，β = 0，0 < β ≤ 1，β > 1）中，分别出现何种方程？
• RQ3 凝聚态性质能否在时间上保持？在N → ∞极限下，凝聚态波函数是否满足非线性薛定谔方程？
• RQ4 在何种条件下可保证相对粒子数与密度矩阵在时间上的一致收敛？
• RQ5 结果如何推广至时间依赖外势与硬核相互作用？

主要发现

• 当β < 0时，N → ∞极限下相互作用可忽略，凝聚态波函数按无平均场势的自由薛定谔方程演化。
• 当β = 0时，平均场势为Vφt = v * |φt|²，对应Hartree方程。
• 当0 < β ≤ 1时，平均场势与|φt|²成正比，比例系数取决于缩放后势的散射长度，得到Gross-Pitaevskii方程。
• 当β > 1时，N → ∞下散射长度趋于零，相互作用可忽略，平均场势为零。
• 在凝聚态波函数φt满足衰减条件时，相对粒子数收敛于1的时间一致收敛性在R⁺上成立。
• 在N → ∞极限下，Ψt的k体密度矩阵对凝聚态相应投影的收敛性得以建立。