[论文解读] On the uniform squeezing property and the squeezing function

Kang‐Tae Kim, Liyou Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 8被引用 15

一句话总结

该论文通过证明全纯嵌入函数 $\sigma_\Omega(p)$ 有正的下确界，建立了 $\mathbb{C}^n$ 中所有有界凸域均为全纯齐性正则（HHR），或等价地一致挤压（USq）。此外，对于具有 $\mathcal{C}^2$ 光滑边界的一类有界强拟凸域，论文利用改进的缩放方法和全纯不变量的几何分析，证明了当 $z$ 趋近边界时，$\sigma_\Omega(z) \to 1$。

ABSTRACT

We describe the boundary behaviors of the squeezing functions for all bounded convex domains in $\mathbb{C}^n$ and bounded domains with a $C^2$ strongly convex boundary point.

研究动机与目标

• 建立 $\mathbb{C}^n$ 中所有有界凸域的统一挤压性质（HHR/USq），扩展了此前未涵盖此类域的研究结果。
• 研究具有 $\mathcal{C}^2$ 边界的强拟凸域的挤压函数 $\sigma_\Omega(z)$ 在边界附近的渐近行为。
• 提出一种在多复变函数中使用改进缩放方法的新证明技术，区别于以往方法。
• 通过几何分析，澄清并简化强拟凸域中已知的全纯不变量结果。
• 肯定回答了强拟凸域在 $\mathcal{C}^2$ 正则性条件下，$\sigma_\Omega(z) \to 1$ 是否在边界点成立的问题。

提出的方法

• 使用多复变函数中改进的缩放方法，源自 Pinchuk 的方法并经 [4] 进一步优化，分析全纯不变量在边界附近的渐近行为。
• 将挤压函数 $\sigma_\Omega(p)$ 定义为满足 $\mathbb{B}^n(0,r)$ 可全纯嵌入 $\Omega$ 且将 $p$ 映射到原点的 $r$ 的上确界。
• 引入挤压常数 $\hat{\sigma}_\Omega = \inf_{p \in \Omega} \sigma_\Omega(p)$，并证明对有界凸域有 $\hat{\sigma}_\Omega > 0$。
• 通过在 $\mathbb{C}^n$ 中使用正交基与正交补的几何构造，估计边界点附近全纯嵌入的大小。
• 使用序列 $\{q_j\} \to \partial\Omega$，并假设 $\sigma_\Omega(q_j) \to 0$，通过紧致性与全纯不变性导出矛盾。
• 通过复合映射 $G = L \circ \kappa \circ \Lambda_\lambda \circ A_q$ 证明 $G(\Omega) \subset \mathbb{B}^n(0;1+\epsilon)$，从而表明挤压函数具有一致控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有 $\mathbb{C}^n$ 中的有界凸域是否都是一致挤压的（即 HHR/USq）？
• RQ2 当 $z$ 趋近于具有 $\mathcal{C}^2$ 光滑边界的有界强拟凸域的边界时，挤压函数 $\sigma_\Omega(z)$ 是否趋于 1？
• RQ3 能否通过 $\mathbb{C}^n$ 的自同构将强拟凸域的边界点变为球面对称极端点？
• RQ4 多复变函数中的缩放方法是否能有效证明凸域挤压函数的统一下确界？
• RQ5 是否能对所有边界逼近方式，统一实现单位球被强拟凸域的全纯像所穷尽？

主要发现

• 所有 $\mathbb{C}^n$ 中的有界凸域均为全纯齐性正则（HHR），或等价地一致挤压（USq），即 $\hat{\sigma}_\Omega > 0$。
• 对于任意具有 $\mathcal{C}^2$ 光滑强拟凸边界的有界域 $\Omega \subset \mathbb{C}^n$，对每个边界点 $p \in \partial\Omega$，均有 $\lim_{\Omega \ni z \to p} \sigma_\Omega(z) = 1$。
• 挤压函数 $\sigma_\Omega(p) = 1$ 当且仅当 $\Omega$ 全纯同胚于单位球 $\mathbb{B}^n$。
• 使用改进缩放方法的证明技术为强拟凸域中已知的全纯不变量结果提供了新颖且简化的途径。
• 该结果表明，Fridman 和 Ma 的穷尽定理可更广泛地成立，不仅适用于横截逼近边界的方式，也适用于所有逼近边界的方式。
• 构造了一个反例，表明不存在 $\mathbb{C}^n$ 的自同构可使强拟凸域的边界点变为球面对称极端点，从而否定了一个自然猜想。