[论文解读] On the unramified principal series of GL(3) over non-archimedean local fields

Uri Onn, Pooja Singla|NOT FOUND REPOSITORY (Indian Institute of Science Bangalore)|Oct 20, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文对非阿基米德局部域上 GL(3) 的无分歧摄动系列表示在极大紧致子群 GL₃(𝒪) 上的不可约构成部分进行了完整分解。通过与锥 C ⊂ ℕ₀³ 关联的抛物子群的滤子，作者利用不变量 λ(c)、κ(c) 和 μ(c) 对不可约分量进行分类，证明 V_c 不可约当且仅当 c 位于 C 的边界上，并通过生成函数与群论计数方法，推导出各维数不可约子表示数量的显式公式。

ABSTRACT

Let F be a non-archimedean local field and let O be its ring of integers. We give a complete description of the irreducible constituents of the restriction of the unramified principal series representations of GL(3,F) to GL(3,O).

研究动机与目标

• 对非阿基米德局部域 F 上 GL(3,F) 的无分歧摄动系列表示在极大紧致子群 GL₃(𝒪) 上的限制进行完全分解。
• 解决 n=3 时不可约分解的开放问题，扩展先前工作的部分结果。
• 基于锥 C ⊂ ℕ₀³ 关联的组合不变量 λ(c)、κ(c)、μ(c)，提供不可约构成部分的完整分类。
• 通过生成函数与群论计数方法，推导出各维数不可约子表示数量的显式公式。

提出的方法

• 通过主同余子群 K^ℓ 和由 c ∈ C ⊂ ℕ₀³ 索引的抛物子群 P_c，对诱导表示 V = Ind_B^G(1) 建立滤子。
• 引入表示 V_c = U_c / ∑_{d≺c} U_d，其中 U_c = Ind_{P_c}^G(1)，并将 V 分解为 c ∈ C 上的直和。
• 利用不变量 λ(c) = c₃, κ(c) = c₁ + c₂ − c₃, μ(c) = min{c₁ + c₂ − c₃, c₃ − c₁, c₃ − c₂} 对 V_c 的同构类型进行分类。
• 证明 V_c 不可约当且仅当 c 位于锥 C 的边界 ∂C 上。
• 对于 c ∈ C°，通过 V_c^m = U_c^m / ∑_{c−mρ ≼ d ≺ c} U_d^m，将 V_c 分解为从 P_{c−mρ} 到 G 的诱导表示。
• 通过计数 |𝒪_m × ∖ 𝒪_{m−1} ×| 和多项式表达式 f_n(q)、g_n(q)，推导出不可约子表示数量的生成函数 ζ_{G,V}(s)。

实验结果

研究问题

• RQ1 GL(3,F) 的无分歧摄动系列表示在 GL₃(𝒪) 上的限制，其不可约构成部分的完整分解是什么？
• RQ2 哪些参数 c ∈ C 决定同构的不可约分量 V_c，其分类由何种不变量决定？
• RQ3 对于哪些 c ∈ C，表示 V_c 不可约，且锥 C 的边界 ∂C 有何特征？
• RQ4 在限制中，各维数 n 的不可约子表示有多少，其计数的生成函数是什么？
• RQ5 以 q 和 n 表示，不可约构成部分维数为 η₁(q)qⁿ 和 η₂(q)qⁿ 的精确数量是多少？

主要发现

• 当且仅当 c 位于锥 C 的边界 ∂C 上时，表示 V_c 不可约，即当 c₁, c₂ < c₃ < c₁ + c₂ 不成立时。
• 当且仅当 λ(c) = λ(d), κ(c) = κ(d), μ(c) = μ(d)，且当 κ(c) > μ(c) 时 c = d，表示 V_c 与 V_d 同构。
• 对于 c ∈ C° 且 λ(c) ≥ 2，V_c 的不可约构成部分数量为：若 κ(c) = μ(c)，则 a(c) = 1 + (q−1)q^{μ(c)−1}；若 κ(c) > μ(c)，则 a(c) = 1 + (q−1)q^{κ(c)−1}。
• 不可约 n 维子表示数量的生成函数 ζ_{G,V}(s) 显式计算为包含 f_n(q) 和 g_n(q) 的和，其中 f_n(q) 仅在偶数 n ≥ 4 时非零，g_n(q) 在 n ≥ 5 时非零。
• 维数为 η₁(q)qⁿ 的不可约子表示数量为 f_n(q) = q^{⌊n/6⌋−1}((p_{n/2}+1)q + (2−p_{n/2}))，其中 p_n 为 n 模 3 的余数，且当 n 为奇数时为零。
• 维数为 η₂(q)qⁿ 的不可约子表示数量为 g_n(q) = (q^{⌊n/2⌋}−1)/(q−1) + (q^{⌊n/2⌋−1}−1)/(q−1) + min{p_n,1}q^{⌊n/2⌋−1}，其中 p_n 为 n 模 3 的余数。