[论文解读] On the Unstable Directions and Lyapunov Exponents of Anosov Endomorphisms

Fernando Micena, Ali Tahzibi|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文研究了闭流形上Anosov自同态的不稳定方向与李雅普诺夫指数，证明了一个二分性结论：一个传递的Anosov自同态要么是特殊的（每一点仅有一个不稳定方向），要么在残集上具有不可数无穷多个不稳定方向。此外，本文建立了在邻近线性环面自同态时，$C^{1+\beta}$余维一Anosov自同态的不稳定李雅普诺夫指数的半刚性，并证明了保守的$C^{1+\beta}$Anosov自同态的遍历性。

ABSTRACT

Despite the invertible setting, Anosov endomorphisms may have infinitely many unstable directions. Here we prove, under transitivity assumption, that an Anosov endomorphism on a closed manifold $M,$ is either special (that is, every $x \in M$ has only one unstable direction) or for a typical point in $M$ there are infinitely many unstable directions. Other result of this work is the semi rigidity of the unstable Lyapunov exponent of a $C^{1+α}$ codimension one Anosov endomorphism and $C^1$ close to a linear endomorphism of $\mathbb{T}^n$ for $(n \geq 2).$ In the appendix we give a proof for ergodicity of $C^{1+α}, α> 0,$ conservative Anosov endomorphism.

研究动机与目标

• 理解Anosov自同态中不稳定方向的结构，特别是点是否可能具有有限个或无限多个此类方向。
• 确定非特殊Anosov自同态是否可能存在每一点仅有有限个不稳定方向的情况。
• 建立在邻近线性环面自同态时，$C^{1+\beta}$余维一Anosov自同态的不稳定李雅普诺夫指数的半刚性。
• 利用SRB测度理论与逆极限空间技术，证明保守的$C^{1+\beta}$Anosov自同态的遍历性。

提出的方法

• 使用逆极限空间构造将自同态提升为在万有覆盖上的微分同胚，从而可应用不变叶状结构与稳定/不稳定丛理论。
• 应用SRB测度与条件测度理论分析不稳定叶的遍历分解与绝对连续性。
• 基于雅可比行列式与李雅普诺夫指数估计的体积增长估计，采用反证法证明不稳定李雅普诺夫指数的半刚性。
• 利用自然扩张（逆极限空间）将自同态的动力学与微分同胚的动力学联系起来，保持熵不变，并在$C^1$邻域内实现共轭。
• 将佩辛公式推广至自同态情形，将度量熵与正李雅普诺夫指数之和关联，这对遍历性论证至关重要。
• 利用在$C^1$拓扑下接近线性Anosov自同态时，其提升共轭于线性映射的事实，从而对李雅普诺夫指数获得一致估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 非特殊Anosov自同态是否可能在每一点仅有有限个不稳定方向？
• RQ2 传递Anosov自同态中不稳定方向的典型结构是什么？
• RQ3 在邻近线性环面自同态时，不稳定李雅普诺夫指数是否具有$C^1$扰动下的半刚性？
• RQ4 在何种条件下，保守的$C^{1+\beta}$Anosov自同态是遍历的？
• RQ5 逆极限空间构造如何有助于分析非可逆的双曲动力系统？

主要发现

• 对于传递Anosov自同态，要么每一点恰好有一个不稳定方向（特殊情形），要么在残集上每一点具有不可数无穷多个不稳定方向。
• 在$\mathbb{T}^n$上线性Anosov自同态的$C^1$邻域内，$n \geq 2$，任意$C^{1+\alpha}$保守Anosov自同态的不稳定李雅普诺夫指数上界不超过线性映射的指数。
• 不稳定李雅普诺夫指数具有半刚性：在具有一维不稳定丛的线性环面自同态附近，其值不能通过小的$C^1$扰动而增加。
• 保守的$C^{1+\alpha}$Anosov自同态关于勒贝格测度是遍历的，该结论通过SRB测度理论与条件测度的绝对连续性得以证明。
• 逆极限空间构造使得邻近的Anosov自同态与其提升之间实现共轭，保持熵不变，并可应用微分同胚的技术。
• 保守的$C^{1+\alpha}$Anosov自同态的勒贝格测度的遍历分解是平凡的，从而蕴含其遍历性。