[论文解读] On the Usefulness of Predicates

Per Austrin, Johan Håstad|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 16被引用 10

一句话总结

本文引入了最大约束满足问题（Max-CSP）中谓词‘有用性’的概念，定义了谓词 P 在何种情况下可用于设计出在相关目标 Q 上优于随机猜测的算法。在唯一游戏假设（Unique Games Conjecture, UGC）下，本文给出了一个完整的刻画：谓词无用（即对任何 Q 都无用）当且仅当其满足赋值支持一个成对独立分布。

ABSTRACT

Motivated by the pervasiveness of strong inapproximability results for Max-CSPs, we introduce a relaxed notion of an approximate solution of a Max-CSP. In this relaxed version, loosely speaking, the algorithm is allowed to replace the constraints of an instance by some other (possibly real-valued) constraints, and then only needs to satisfy as many of the new constraints as possible. To be more precise, we introduce the following notion of a predicate $P$ being \emph{useful} for a (real-valued) objective $Q$: given an almost satisfiable Max-$P$ instance, there is an algorithm that beats a random assignment on the corresponding Max-$Q$ instance applied to the same sets of literals. The standard notion of a nontrivial approximation algorithm for a Max-CSP with predicate $P$ is exactly the same as saying that $P$ is useful for $P$ itself. We say that $P$ is useless if it is not useful for any $Q$. This turns out to be equivalent to the following pseudo-randomness property: given an almost satisfiable instance of Max-$P$ it is hard to find an assignment such that the induced distribution on $k$-bit strings defined by the instance is not essentially uniform. Under the Unique Games Conjecture, we give a complete and simple characterization of useful Max-CSPs defined by a predicate: such a Max-CSP is useless if and only if there is a pairwise independent distribution supported on the satisfying assignments of the predicate. It is natural to also consider the case when no negations are allowed in the CSP instance, and we derive a similar complete characterization (under the UGC) there as well. Finally, we also include some results and examples shedding additional light on the approximability of certain Max-CSPs.

研究动机与目标

• 通过引入‘有用性’的新概念，弥补近似抗性作为 Max-CSP 硬度度量的局限性。
• 定义谓词 P 在标准近似设置之外，对实值目标 Q 何时具有有用性。
• 在唯一游戏假设下，精确刻画哪些谓词是无用的（即对任何 Q 都无用）。
• 将刻画结果扩展到 CSP 实例中不允许出现否定字面量的情况。
• 提供一个理解放松约束或使用实值目标时能否获得非平凡近似的方法框架。

提出的方法

• 引入一种松弛的近似解概念，其中约束可被替换为实值形式，目标是尽可能多地满足这些约束。
• 若给定一个几乎可满足的 Max-P 实例，存在一种算法能在对应的 Max-Q 实例上优于随机赋值，则定义谓词 P 对 Q 有用。
• 以唯一游戏假设（UGC）为基础，证明无用谓词的完整刻画。
• 应用伪随机性与傅里叶分析的工具，特别是准随机函数和特征展开的应用。
• 采用基于均匀正相关分布的测试方法，通过比较不同分布下的期望值来界定接受概率。
• 使用乘积分布的凸组合来降低期望值界限，证明最优性能被限制在乘积分布下的期望值之内。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准近似设置之外，谓词 P 何时对实值目标 Q 有用？
• RQ2 在何种条件下谓词 P 是无用的，即对任何目标 Q 都无用？
• RQ3 在唯一游戏假设下，能否实现对无用谓词的完整刻画？
• RQ4 不使用否定字面量时，谓词的有用性及其刻画如何受到影响？
• RQ5 满足赋值上存在成对独立分布与谓词无用性之间的关系是什么？

主要发现

• 谓词 P 无用（即对任何 Q 都无用）当且仅当 P 的满足赋值集合支持一个成对独立分布。
• 在唯一游戏假设下，该刻画是完整的，且适用于一般情况以及不包含否定字面量的情况。
• 本文证明了标准的非平凡可近似性概念（例如 Max-3Sat 或 XOR）对应于 P 对其自身具有有用性。
• 在无否定字面量的情况下，刻画形式类似，但依赖于均匀正相关的分布而非折叠函数。
• 证明技术表明，若函数 F 是准随机的，则任意有界函数 Q 在 F(X₁), ..., F(Xₖ) 上的期望值接近于乘积分布下的期望值。
• 分析中的可靠性界限确保测试分布下的期望值与最优值 E⁺_Q 的差距在 ε 以内，从而证明无法实现非平凡的改进。