[论文解读] On the well-posedness of the incompressible Euler Equation

Hasan İnci|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 5被引用 16

一句话总结

该论文证明了在 Sobolev 空间 $H^s(\mathbb{R}^n)$ 上，当 $s > n/2 + 1$ 时，不可压缩 Euler 方程可被表述为体积保持微分同胚无限维流形上的测地线方程。利用这一几何框架，作者证明了解映射在初始数据上既非局部一致连续，也非处处可微，揭示了其在 $C^1$ 意义下的强不适定性。

ABSTRACT

In this thesis we prove that the homogeneous incompressible Euler equation of hydrodynamics on the Sobolev spaces $H^s(\R^n)$, $n \geq 2$ and $s > n/2+1$, can be expressed as a geodesic equation on an infinite dimensional manifold. As an application of this geometric formulation we prove that the solution map of the incompressible Euler equation, associating intial data in $H^s(\R^n)$ to the corresponding solution at time $t > 0$, is nowhere locally uniformly continuous and nowhere differentiable.

研究动机与目标

• 在体积保持微分同胚的无限维流形上，建立不可压缩 Euler 方程的几何表述，将其表示为测地线方程。
• 分析初始数据到时间 $t > 0$ 解的解映射在 Sobolev 空间 $H^s(\mathbb{R}^n)$ 中的正则性性质。
• 证明当 $s > n/2 + 1$ 时，解映射在 $H^s$ 拓扑下既非局部一致连续，也非处处可微。
• 展示由于解映射缺乏利普希茨连续性，标准压缩映射方法无法适用。

提出的方法

• 在配备 $H^s$ 右不变 Riemann 度量的微分同胚群 $\mathcal{D}^s(\mathbb{R}^n)$ 上，将不可压缩 Euler 方程表述为测地线方程。
• 利用流体运动的欧拉表述，将方程表示为体积保持微分同胚无限维流形上的二阶 ODE。
• 在流形上应用指数映射，将初始速度场与随时间的流联系起来。
• 通过 Biot-Savart 定律的旋量表示，估计 $H^s$ 空间中由旋量控制的速度场。
• 利用 Sobolev 嵌入定理和平坦紧支集无散向量场在 $H^s$ 空间中的稠密性，来验证近似。
• 通过构造初始数据序列，使得解映射不满足利普希茨或一致连续性界，从而证明其不可微性与缺乏一致连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 不可压缩 Euler 方程能否在体积保持微分同胚的无限维流形上，几何地解释为测地线流？
• RQ2 当 $s > n/2 + 1$ 时，解映射 $u_0 \mapsto u(t)$ 在 $H^s(\mathbb{R}^n)$ 拓扑下的正则性性质是什么？
• RQ3 当 $s > n/2 + 1$ 时，解映射在 $H^s$ 中是否局部一致连续或可微？
• RQ4 能否通过几何与泛函分析工具，严格证明解映射缺乏利普希茨连续性？

主要发现

• 当 $s > n/2 + 1$ 时，$H^s(\mathbb{R}^n)$ 上的不可压缩 Euler 方程可在体积保持微分同胚的流形 $\mathcal{D}^s_{\mu}(\mathbb{R}^n)$ 上以测地线形式表述。
• 当 $s > n/2 + 1$ 时，解映射 $u_0 \mapsto u(t)$ 在 $H^s(\mathbb{R}^n)$ 中既非局部一致连续。
• 当 $s > n/2 + 1$ 时，解映射在 Fréchet 意义下于 $H^s(\mathbb{R}^n)$ 中处处不可微。
• 不可微性意味着在此设定下无法使用压缩映射方法构造解。
• 尽管当 $s > n/2 + 1$ 时 Euler 方程在 $H^s(\mathbb{R}^n)$ 中具有局部适定性，但该结果揭示了存在性与光滑依赖性之间的鸿沟。
• 证明依赖于 Biot-Savart 定律和 Sobolev 嵌入定理，以从旋量控制速度场，并依赖于平坦紧支集向量场在 $H^s$ 空间中的稠密性。