[论文解读] On the zeros of Dirichlet $L$-functions

Sami Omar, Raouf Ouni+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文使用算术公式计算并验证了狄利克雷L函数的李系数的正性，提出了部分黎曼猜想的判别准则，并通过新的积分与求和公式提供了数值证据。主要贡献在于为李系数为正且递增的猜想提供了强有力的数值支持，若该猜想成立，则可推出黎曼猜想。

ABSTRACT

In this paper, we compute and verify the positivity of the Li coefficients for the Dirichlet $L$-functions using an arithmetic formula established in Omar and Mazhouda, J. Number Theory 125 (2007) no.1, 50-58; J. Number Theory 130 (2010) no.4, 1109-1114. Furthermore, we formulate a criterion for the partial Riemann hypothesis and we provide some numerical evidence for it using new formulas for the Li coefficients.

研究动机与目标

• 使用已知算术公式计算并验证狄利克雷L函数李系数的正性。
• 基于李系数行为提出部分黎曼猜想的判别准则。
• 推导李系数的新积分与求和公式，以提高数值计算效率。
• 为李系数为正且关于n递增的猜想提供数值证据。
• 将无条件计算的系数与在黎曼猜想假设下使用不同公式计算的系数进行比较。

提出的方法

• 使用源自[10, 11]的李系数算术公式，其表达式涉及冯·曼戈尔特函数、高斯和与赫尔维茨zeta函数。
• 利用拉盖尔多项式及对素数与素数幂和的界，对级数尾部进行误差估计。
• 在黎曼猜想假设下，采用涉及切比雪夫多项式与特征值的求和公式，更高效地计算系数。
• 使用无条件算术公式与条件求和公式，对n ≤ 40的λχ(n)进行数值计算。
• 在黎曼猜想假设下，使用公式λχ(n, N) = 2∑_{k=1}^N α_k (1 − T_{n−1}( (4γ_k²−1)/(4γ_k²+1) )) 实现高效计算。
• 估计误差项|EM|，以确保所有计算的数值精度在10−ν以内。

实验结果

研究问题

• RQ1 狄利克雷L函数的李系数λχ(n)是否对所有n ≥ 1均为正？
• RQ2 能否基于λχ(n)的行为提出部分黎曼猜想的判别准则？
• RQ3 李系数是否表现出单调增长？这将对黎曼猜想意味着什么？
• RQ4 如何利用新的积分与求和公式高效计算λχ(n)？
• RQ5 算术公式中误差估计的精度与收敛行为如何？

主要发现

• 使用算术公式无条件计算了n ≤ 40范围内的李系数λχ(n)，结果表明其具有正性与递增趋势。
• 在黎曼猜想假设下，求和公式使λχ(n)的计算速度远超算术公式（后者计算50个系数耗时超过一周）。
• 对χ(mod3)、χ(mod5)、χ(mod20)与χ(mod60)的数值结果表明，λχ(n)在所有n ≤ 40范围内均为正且递增。
• 误差估计|EM| ≤ √n log M + 2/√M 确保了在适当选择M时，数值精度达到10−ν以内。
• 作者猜想λχ(n)关于n为正且递增，若该猜想成立，则可推出黎曼猜想。
• 数值证据支持李系数递增的猜想，所有测试字符与n ≤ 40范围内的λχ(n)值均呈稳定上升趋势。