[论文解读] On the zeros of the second derivative of the Riemann zeta function under the Riemann hypothesis

Ade Irma Suriajaya|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文将 Akatsuka 在 2012 年关于黎曼 zeta 函数一阶导数在黎曼猜想（RH）下的结果，扩展至二阶导数。通过采用改进的复分析技术，并对先前工作中关键引理进行修改，本文为 ζ''(s) 在临界带内非平凡零点实部之和，以及高度 T 以下此类零点的计数，建立了更精确的渐近公式，误差项分别改进至 O((log log T)²) 和 O(log T/(log log T)^{1/2})。

ABSTRACT

The number of zeros and the distribution of the real part of non-real zeros of the derivatives of the Riemann zeta function have been investigated by Berndt, Levinson, Montgomery, and Akatsuka. Berndt, Levinson, and Montgomery investigated the general case, meanwhile Akatsuka gave sharper estimates for the first derivative of the Riemann zeta function under the truth of the Riemann hypothesis. In this paper, we extend the results of Akatsuka to the second derivative of the Riemann zeta function.

研究动机与目标

• 将 Akatsuka 在 2012 年关于黎曼 zeta 函数一阶导数在黎曼猜想下的结果，推广至二阶导数。
• 为临界带内 ζ''(s) 的非实零点实部之和，推导更精确的渐近公式。
• 改进计数函数 N₂(T) 的误差项，该函数统计满足 0 < Im(s) ≤ T 的 ζ''(s) 的非平凡零点。
• 改编并修改 Akatsuka 工作中的关键引理，特别是关于对数导数与幅角估计的引理，以适用于二阶导数情形。
• 证明在黎曼猜想下，零点分布与计数公式的误差项为最优阶。

提出的方法

• 将 Akatsuka (2012) 对 ζ′(s) 的证明方法，应用于 ζ′′(s)，重点使用复积分表示与幅角变差技术。
• 修改 Akatsuka 工作中的引理 2.1，以处理 ζ′′(s) 更复杂的函数方程与对数导数结构。
• 通过分析关键区域中对数导数 ζ′′/ζ(s) 的全纯性及其幅角的有界性，估计其幅角。
• 利用柯西积分定理与围道积分，控制由边界积分与幅角跳跃引起的误差项。
• 应用平均值定理与极限过程（δ → 0），从振荡积分中提取主项与常数校正项。
• 通过估计 arg(G₂(1/2 + iT)) 与 arg(ζ(1/2 + iT))，建立误差界，利用文献中已知的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 Akatsuka 对黎曼 zeta 函数一阶导数的改进误差项，能否在黎曼猜想下推广至二阶导数？
• RQ2 ζ′′(s) 在临界带内非平凡零点实部之和的渐近行为如何？
• RQ3 在黎曼猜想下，ζ′′(s) 的非平凡零点计数函数 N₂(T) 的最优误差项是什么？
• RQ4 ζ′′(s) 的解析性质，特别是 ζ′′/ζ(s) 在临界带中的行为，与 ζ′/ζ(s) 相比有何不同？
• RQ5 幅角变差法能否被调整以控制高阶导数情形下零点计数与分布公式的误差项？

主要发现

• 在黎曼猜想下，对满足 0 < γ'' ≤ T 的非平凡零点 ρ'' = β'' + iγ''，ζ''(s) 的 (β'' − 1/2) 之和渐近等于 (2T/2π)log log(T/2π) + (1/(2π))(1/2 log 2 − 2 log log 2)T − 2 Li(T/2π) + O((log log T)²)。
• 对于短区间 (T, T+U]，满足 T < γ'' ≤ T+U 的零点的 (β'' − 1/2) 之和渐近为 (2U/2π)log log(T/2π) + (1/(2π))(1/2 log 2 − 2 log log 2)U + O(U²/(T log T)) + O((log log T)²)。
• 在黎曼猜想下，ζ''(s) 的非平凡零点计数函数 N₂(T) 满足 N₂(T) = (T/2π)log(T/4π) − T/2π + O(log T / (log log T)^{1/2})。
• 计数公式的误差项被改进为 O(log T / (log log T)^{1/2})，与黎曼猜想下一阶导数情形的最佳已知误差界一致。
• 辅助函数 G₂(1/2 + iT) 的幅角满足 O_a(log T / (log log T)^{1/2})，该估计对误差项控制有贡献。
• ζ(1/2 + iT) 的幅角满足 O(log T / log log T)，此为已知结果，对整体误差估计有贡献。