[论文解读] On topological full groups of Z^d-actions

Maksym Chornyi, Kate Juschenko+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2016

Cellular Automata and Applications参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文通过在康托集上对 $ȡa^d$-作用的拓扑全群，构造了新的简单、有限生成、无限阿梅兰群的例子，包括与区间交换变换和彭罗斯密铺相关的群。证明了此类作用的拓扑全群的换位子群是有限生成且简单的，从而提供了新的非初等阿梅兰群。

ABSTRACT

We give new examples of simple finitely generated groups arising from actions of free abelian groups on the Cantor sets. As particular examples, we discuss groups of interval exchange transformations, and a group naturally associated with the Penrose tilings. Many groups in this class are amenable.

研究动机与目标

• 通过拓扑全群的 $ȡa^d$-作用构造新例子，以扩展非初等阿梅兰群的类。
• 证明在康托集上最小 $ȡa^d$-作用的拓扑全群的换位子群是有限生成且简单的。
• 建立彭罗斯密铺动力系统的拓扑全群与通过局部平移作用在康托集上的群之间的联系。
• 利用朱的结论（即简单、有限生成、无限群不属于初等阿梅兰类）证明这些群是非初等阿梅兰的。

提出的方法

• 在有限字母表 $χ$ 的 $χ^{ȡa^d}$ 的闭的平移不变子集上，使用 $ȡa^d$ 的最小、忠实、自由作用。
• 将拓扑全群定义为在局部作用为群元素平移的同胚群。
• 利用补丁相容性和柱状集，为拓扑全群的换位子群构造一个有限生成集。
• 应用马秋及他人关于拓扑全群中换位子群的简单性与有限生成性的结果。
• 通过将彭罗斯密铺补丁几何分解为三角形和平行四边形，证明其与基本域的等积可分性。
• 通过轨道等价性，建立与彭罗斯密铺相关的群 $π$ 和 $ȡa^2$-作用在康托集 $\mathcal{C}/\langle w_1, w_2 \rangle$ 上的拓扑全群之间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 拓扑全群的 $ȡa^d$-作用在康托集上是否能产生新的简单、有限生成、无限阿梅兰群的例子？
• RQ2 在康托集上最小 $ȡa^d$-作用的拓扑全群的换位子群是否是有限生成且简单的？
• RQ3 与彭罗斯密铺相关的群的结构是什么？它与拓扑全群有何关系？
• RQ4 此类群的换位子群是否是非初等阿梅兰的？
• RQ5 能否利用密铺补丁的几何分解，建立与拓扑全群的群同构？

主要发现

• 在康托集上最小、忠实的 $ȡa^d$-作用的拓扑全群 $[[ȡa^d]]$ 的换位子群是有限生成的。
• 根据本文引用的马秋结果，$[[ȡa^d]]$ 的换位子群是简单的。
• 与彭罗斯密铺相关的群 $π$ 的换位子群是简单且有限生成的。
• 群 $π$ 同构于 $P/\langle w_1, w_2 \rangle$ 在康托集 $\mathcal{C}/\langle w_1, w_2 \rangle$ 上的 $ȡa^2$-作用的拓扑全群，其中 $P$ 是复平面上的一个格。
• 带标记的彭罗斯密铺空间与五边形 $V'$ 的并集同胚，群 $π$ 通过局部平移作用于其上。
• 格 $\langle w_1, w_2 \rangle$ 的基本域 $F$ 与五边形 $V''$ 的并集等积可分，从而可构造该群为拓扑全群。