[论文解读] On triangles in K_r-minor free graphs

Boris Albar, Daniel Gonçalves|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 14被引用 12

一句话总结

本文通过分析 $K_r$-无小图中每条边的三角形数量，建立了图包含完全图作为小图的充分条件。证明了若度数不超过 $2r-5$ 的顶点所关联的每条边至多属于 $r-3$ 个三角形，则该图包含 $K_r$-小图；此结果解决了 Nevo 关于 $K_7$-无小图的猜想，并将结构结果推广至 $K_8$-无小图，应用于图的可着色性与应力自由性问题。

ABSTRACT

We study graphs where each edge adjacent to a vertex of small degree (7 and 9, respectively) belongs to many triangles (4 and 5, respectively) and show that these graphs contain a complete graph (K_6 and K_7, respectively) as a minor. The second case settles a problem of Nevo (Nevo, 2007). Morevover if each edge of a graph belongs to 6 triangles then the graph contains a K_8-minor or contains K_{2,2,2,2,2} as an induced subgraph. We then show applications of these structural properties to stress freeness and coloration of graphs. In particular, motivated by Hadwiger's conjecture, we prove that every K_7-minor free graph is 8-colorable and every K_8-minor free graph is 10-colorable.

研究动机与目标

• 为解决 Nevo 猜想：每个 $K_7$-无小图都包含一条关联到度数不超过 9 的顶点的边，且该边至多属于 4 个三角形。
• 将 $K_r$-无小图中三角形密度的结构结果推广至 $r=7$ 以上，特别是针对 $r=8$ 的情形，此时由于 $K_{2,2,2,2,2}$ 的存在，标准三角形边界不再适用。
• 基于全局三角形-边比和诱导子图排除，建立 $K_k$-小图存在的新充分条件。
• 将结构发现应用于图的可着色性与应力自由性问题，特别是与 Hadwiger 猜想及双临界图的关系。

提出的方法

• 利用 Mader 定理对 $K_r$-无小图中的边数进行约束，推导出此类图中顶点的度数约束。
• 应用 Wagner 对 $K_5$-无小图的刻画及分离技术（如 $k$-分离）分析低度顶点与三角形计数。
• 采用着色论证与 $2t$-着色中的双色路径构造，在假设不存在 $K_{t+2}$-小图时导出矛盾。
• 提出一种新颖的全局条件：若图有 $m$ 条边且至少有 $\frac{k-3}{2}m$ 个三角形，则其包含 $K_k$-小图（当 $k=8$ 时，可能为 $K_{2,2,2,2,2}$）。
• 使用收缩与团和运算分析 $K_8$-无小图，特别关注 $K_{2,2,2,2,2}$ 作为禁止诱导子图的作用。
• 应用 $2t$-着色与双色路径的概念，在特定着色约束下证明 $K_{t+2}$-小图不存在，从而导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 $K_7$-无小图是否都包含一条关联到度数不超过 9 的顶点的边，且该边至多属于 4 个三角形？
• RQ2 对于 $K_8$-小图包含的三角形密度条件，是否可超越已知反例 $K_{2,2,2,2,2}$ 的限制？
• RQ3 在 $K_k$-无小图中，为保证存在 $K_k$-小图，每条边所需的最少三角形数量是多少？
• RQ4 这些基于三角形的条件能否推广至拟阵小图，特别是针对恰好属于 3 个三角形的元素？
• RQ5 这些基于三角形的条件对闭小图族中图的可着色性与应力自由性有何影响？

主要发现

• 每个 $K_7$-无小图是 $8$-可着色的，每个 $K_8$-无小图是 $10$-可着色的，支持了 Hadwiger 猜想的弱化形式。
• 本文解决了 Nevo 猜想：每个 $K_7$-无小图都存在一条关联到度数不超过 9 的顶点的边，且该边至多属于 4 个三角形。
• 对于最小度数为 11 的 $K_8$-无小图，存在一条关联到度数为 11 的顶点的边，至多属于 5 个三角形。
• 若图中每条边都至少属于 6 个三角形，则该图要么包含 $K_8$-小图，要么包含 $K_{2,2,2,2,2}$ 作为诱导子图。
• 若图有 $m$ 条边且至少有 $\frac{k-3}{2}m$ 个三角形，则当 $3 \leq k \leq 7$ 时，其包含 $K_k$-小图；当 $k=8$ 时，其包含 $K_8$-小图或 $K_{2,2,2,2,2}$ 作为小图。
• 本文证明：每个不含诱导子图 $K_{2,2,2,2,2}$ 的 $K_8$-无小图，都存在一条至多属于 5 个三角形的边，将三角形密度条件推广至该情形。