[论文解读] On tunnel number one knots that are not (1,n)

Jesse Johnson, Abigail Thompson|ArXiv.org|Jun 9, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 4

一句话总结

该论文证明，对于任意自然数 $ n $，在 $ S^3 $ 中存在隧道数为一的纽结，其并非 $(1,n)$，方法是通过证明由 $ t $-隧道分解诱导的Heegaard分解的距离下界。关键结果表明：若一个纽结为 $(t,n)$，则其诱导的Heegaard分解的距离至多为 $ 2n + 2t $；由于隧道数为一的纽结可具有任意高的距离分解，因此它们不可能对任何固定的 $ n $ 都是 $(1,n)$。

ABSTRACT

We show that the bridge number of a $t$ bridge knot in $S^3$ with respect to an unknotted genus $t$ surface is bounded below by a function of the distance of the Heegaard splitting induced by the $t$ bridges. It follows that for any natural number $n$, there is a tunnel number one knot in $S^3$ that is not $(1,n)$.

研究动机与目标

• 解决关于所有隧道数为一的纽结是否可被分类为对某个 $ n $ 的 $(1,n)$ 的开放问题。
• 证明$(1,n)$分类不足以涵盖所有隧道数为一的纽结。
• 建立纽结的桥数、Heegaard距离与$(t,n)$分类之间的定量关系。
• 基于Heegaard距离，给出隧道数为一但对任意 $ n $ 均非$(1,n)$的纽结存在的非构造性证明。

提出的方法

• 使用曲线复形定义由 $ t $-隧道分解诱导的Heegaard分解 $ \Sigma $ 的距离 $ d(\bar{\Sigma}) $。
• 应用Johnson与Thompson（2006）的结果，该结果以诱导Heegaard分解的距离为条件，界定了关于 genus $ t $ 曲面的纽结的桥数。
• 通过将一个 $ 2k $-穿孔的 genus $ t $ 曲面 $ T $ 与 $ k $ 个福雷特纽结补集中的曲面 $ T' $ 粘合，构造出一个在纽结补集中闭合的、genus $ t+k $ 的曲面 $ S $。
• 利用 $ T $ 与 $ T' $ 的不可压缩性或弱不可压缩性，证明所得曲面 $ S $ 为弱不可压缩或不可压缩。
• 应用定理8（来自先前工作）分析Heegaard曲面 $ \Sigma $ 与 $ S $ 之间的关系，表明二者要么平行，要么相距较远，要么满足 $ d(\Sigma) \leq 2n + 2t $。
• 利用隧道数为一的纽结的 $ d(\Sigma) $ 可被任意放大（来自先前工作）的事实，得出 $ K $ 不可能是任何 $ n $ 的 $(1,n)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个隧道数为一的纽结是否都能表示为对某个 $ n $ 的 $(1,n)$？
• RQ2 关于 genus $ t $ 曲面的纽结桥数与其诱导Heegaard分解的距离之间有何关系？
• RQ3 是否存在对纽结补集Heegaard距离的界，可使其无法为$(1,n)$？
• RQ4 由于Heegaard距离过高，$(1,n)$-分类是否可能对隧道数为一的纽结失效？
• RQ5 是否存在对任意有限 $ n $ 均非$(1,n)$的隧道数为一的纽结？

主要发现

• 对任意 $ n \in \mathbb{N} $，在 $ S^3 $ 中存在一个隧道数为一的纽结，其并非$(1,n)$，从而解决了长期悬而未决的问题。
• 若纽结为$(t,n)$，则由 $ t $-隧道分解诱导的Heegaard分解的距离 $ d(\Sigma) $ 满足 $ d(\Sigma) \leq 2n + 2t $。
• 由于隧道数为一的纽结可具有任意大的Heegaard距离（如先前工作所示），因此它们不可能满足对任何固定 $ n $ 的 $ d(\Sigma) \leq 2n + 2 $，故不能为$(1,n)$。
• 该证明依赖于纽结补集中不存在某些不可压缩曲面，否则 $ \Sigma $ 与 $ S $ 可能平行或相距较远。
• 该论证表明 $ \Sigma $ 与 $ S $ 既不平行也不相距较远，因此距离界 $ d(\Sigma) \leq 2n + 2t $ 必须成立。
• 结果为非构造性，但通过Heegaard距离与曲面不可压缩性等拓扑不变量，确立了此类纽结的存在性。