[论文解读] On two conjectures of Sierpi\'nski concerning the arithmetic functions $\sigma$ and $\phi$

Kevin Ford, Sergeĭ Konyagin|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文证明了 Sierpiński 的两个长期存在的猜想：对每个正整数 k，存在一个数 m，使得除数函数 σ(x) = m 恰好有 k 个解（定理 1），且对每个偶数 k，存在一个 m，使得欧拉函数 φ(x) = m 恰好有 k 个解（定理 2）。证明使用了筛法和几乎素数理论，无条件地构造了解，克服了以往基于假设 H 或 Dickson 猜想的条件性结果的局限性。

ABSTRACT

Let $\sigma(n)$ denote the sum of the positive divisors of $n$. We prove that for any positive integer $k$, there is a number $m$ for which the equation $\sigma(x)=m$ has exactly $k$ solutions, settling a conjecture of Sierpi\'nski from 1955. Additionally, it is shown that for every positive even $k$, there is a number $m$ for which the equation $\phi(x)=m$ has exactly $k$ solutions, where $\phi$ is Euler's function, making progress toward another conjecture of Sierpi\'nski from 1955.

研究动机与目标

• 解决 Sierpiński 关于对任意给定的 k，σ(x) = m 和 φ(x) = m 的解的个数的猜想。
• 无条件地建立对所有 k ≥ 1，σ(x) = m 恰好有 k 个解的解的存在性。
• 证明对每个偶数 k，存在 m 使得 φ(x) = m 恰好有 k 个解，通过几乎素数理论的创新应用。
• 通过将先前工作的归纳框架与筛法技术结合，处理 φ(x) = m 的情形。

提出的方法

• 构造一组特殊的大型素数 (pi,j)，满足乘法条件和素性条件，以控制 σ(x) = m 和 φ(x) = m 的解的个数。
• 应用线性筛法和 Bombieri–Vinogradov 定理，建立满足 (s−a)/2 是具有大素因子的几乎素数的素数 s 的密度下界。
• 使用 H"older 不等式和柯西-施瓦茨不等式，估计满足所需条件的有利素数元组的数量。
• 利用引理 4 控制违反素性条件的元组数量，依赖于变量的乘法结构。
• 通过集合 Pj 和 Jj 的递归计数策略，估计满足所需素性与互素性约束的有效配置数量。
• 利用 B(1) = 1（即 σ(x) = 1 恰好有一个解）作为 σ(x) = m 构造中的关键锚点。

实验结果

研究问题

• RQ1 对每个 k ≥ 1，是否存在一个数 m，使得方程 σ(x) = m 恰好有 k 个解？
• RQ2 对每个偶数 k，是否存在一个数 m，使得方程 φ(x) = m 恰好有 k 个解？
• RQ3 Sierpiński 的猜想能否通过筛法无条件证明，而非依赖于未被证明的假设（如假设 H 或 Dickson 猜想）？
• RQ4 几乎素数理论能否被有效用于构造具有指定解个数的乘法数论函数的解？

主要发现

• 对每个 k ≥ 1，存在一个数 m，使得方程 σ(x) = m 恰好有 k 个解，无条件地证明了猜想 2。
• 对每个偶数 k，存在一个数 m，使得方程 φ(x) = m 恰好有 k 个解，确立了猜想 1 的偶数情形。
• 满足引理 1 或引理 2 条件的 2r 元组 (pi,j) 的数量有下界 ≫ xr / (log x)^{5r−2}，确保了所需素数构型的存在性。
• 该方法通过确保仅特定素数能整除 x，利用线性形式的素性与合性条件，成功构造了 σ(x) = m 的解。
• 证明关键依赖于 B(1) = 1 这一事实，它为 σ 函数的归纳构造提供了锚点。
• 对所有偶数 k，φ(x) = m 恰好有 k 个解的存在性已确立，且对所有 k ≥ 2 的完整猜想将在后续论文中通过改进的筛法技术得到解决。