[论文解读] ON TWO SCHEMES FOR FRACTIONAL DIFFUSION AND DIFFUSION-WAVE EQUATIONS

Bangti Jin, Raytcho Lazarov+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 39被引用 13

一句话总结

本文提出两种全离散格式——时间方向一阶与二阶精度——结合伽辽金有限元法与后向欧拉法及二阶后向差分法，用于求解具有Caputo导数的时间分数阶扩散方程与扩散波方程。该格式在光滑与非光滑初始数据下均实现了最优误差估计，数值实验验证了其优异的精度与现有方法相比的竞争力。

ABSTRACT

We consider the initial/boundary value problem for the fractional diu- sion and diusion-wave equations involving a Caputo fractional derivative in time. We develop two simple fully discrete schemes based on the Galerkin nite element method and the implicit backward Euler method/second-order backward dierence method, and establish error estimates optimal with respect to the regularity of the initial data. These two schemes are rst and second-order accurate in time for both smooth and nonsmooth initial data. Extensive numerical experiments for one and two-dimension problems conrm the convergence analysis. A detailed comparison with several existing time stepping schemes is also performed. The numerical re- sults indicate that the proposed fully discrete schemes are accurate and robust for nonsmooth data, and competitive with existing schemes.

研究动机与目标

• 开发用于涉及时间Caputo分数阶导数的时间分数阶扩散与扩散波方程的全离散数值格式。
• 确保在初始数据正则性（包括非光滑情况）下的最优误差估计。
• 设计在时间方向保持一阶与二阶精度的格式，无论初始数据是否光滑。
• 与现有时间步进格式进行详细比较，以评估其竞争力与鲁棒性。
• 通过一维与二维空间中的大量数值实验验证理论收敛速率。

提出的方法

• 采用伽辽金有限元法进行空间离散化，以处理变系数与复杂几何形状。
• 应用隐式后向欧拉法以实现时间方向的一阶精度。
• 采用二阶后向差分法以提升时间方向的精度与稳定性。
• 将空间半离散化与时间时间步进相结合，形成全离散格式。
• 推导出与初始数据正则性相关的最优误差估计。
• 在1D与2D问题上实现并测试该格式，以验证理论收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发出在时间分数阶扩散方程中对光滑与非光滑初始数据均保持最优收敛速率的全离散格式？
• RQ2 所提出的格式在分数阶亚扩散与扩散波问题中，与现有时间步进方法相比，在精度与鲁棒性方面表现如何？
• RQ3 当初始数据缺乏正则性时，特别是在Caputo分数阶导数背景下，格式的收敛行为如何？
• RQ4 伽辽金有限元法与向后时间离散化相结合，能否在不同空间维数下产生稳定且精确的解？
• RQ5 数值结果在多大程度上验证了所推导格式的理论误差估计？

主要发现

• 所提出的格式在光滑与非光滑初始数据下均实现了时间方向的一阶与二阶精度，与理论预期一致。
• 建立了最优误差估计，表明收敛速率在初始数据正则性方面达到最优。
• 一维与二维空间中的数值实验验证了光滑与非光滑解的预测收敛速率。
• 该格式对非光滑初始数据具有鲁棒性，在其他格式可能退化的场景下仍保持精度。
• 详细比较表明，所提格式在精度与稳定性方面与现有时间步进方法具有竞争力。
• 实现稳定高效，支持在多维问题中的实际应用。