[论文解读] On Unitary Representations of GL2n Distinguished by the Symplectic Group

Omer Offen, Eitan Sayag|ArXiv.org|Jun 25, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文通过自守形式与Tadić的分类方法，证明了在 $p$-进域 $F$ 上，$GL_{2n}(F)$ 的某一特定不可约单位表示族被辛群 $H = Sp_{2n}(F)$ 所区分，即这些表示存在非零的 $H$-不变线性泛函。关键结果确认了这些表示具有非零的 $H$-不变线性泛函，且结合后续工作，该族表示完整地涵盖了所有此类单位、$H$-区分的表示。

ABSTRACT

We provide a family of representations of GL(2n) over a p-adic field that admit a non-vanishing linear functional invariant under the symplectic group (i.e. representations that are Sp(2n)- distinguished). While our result generalizes a result of M. Heumos and S. Rallis our methods, unlike their purely local technique, re- lies on the theory of automorphic forms. The results of this paper together with later works by the authors imply that the family of representations studied in this paper contains all irreducible, unitary representations of the general linear group that are distin- guished by the symplectic group.

研究动机与目标

• 确定并刻画 $GL_{2n}(F)$ 的不可约单位表示族，使其在辛群 $H = Sp_{2n}(F)$ 下不变。
• 通过全局自守技术而非纯局部方法，扩展 Heumos 与 Rallis 对 $p$-进 $H$-区分表示的研究。
• 证明所研究的表示族包含了所有 $GL_{2n}(F)$ 的不可约单位 $H$-区分表示，从而完成关于 Klyachko 模型的猜想。
• 为证明每个 $GL_q(F)$ 的不可约单位表示均具有唯一的 Klyachko 模型奠定基础，其中辛模型对应于 $H$-区分性。

提出的方法

• 使用 Tadić 对 $GL_{2n}(F)$ 的单位对偶的分类，将表示表达为单位表示 $U(\delta, 2m)$ 与 $\pi(U(\delta, 2m), \alpha)$ 的乘积，其中 $|\alpha| < 1/2$。
• 应用正规化诱导表示及诱导表示的结构，分析 $H$-不变泛函的存在性。
• 运用 Klyachko 模型理论，特别是辛模型 $\mathcal{M}_{2n,n}$，将 $H$-区分性重述为存在非零 $GL_{2n}(F)$-交错映射进入该模型。
• 分析单位表示的矩阵系数，并利用其有界性控制由 Whittaker 模型与 Eisenstein 系列技术产生的积分的收敛性。
• 应用关键积分表示，涉及 intertwining 算子，并利用对子式范数及模特征 $\delta_Q^s$ 的界，证明当 $\text{Re}(s)$ 足够大时，积分绝对收敛。
• 依赖辅助命题：(1) $\|\epsilon_{R_{i,j}} \text{diag}(k_1,\dots,k_t)\sigma_k(X)\|$ 有下界和上界，分别由 $\prod \lambda(X_i)$ 的幂次控制；(2) $\delta_Q^s(p(\sigma_k(X))) \leq \left(\prod \lambda(X_i)\right)^{-s}$，以控制积分的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些不可约单位表示 $GL_{2n}(F)$ 允许非零的 $H = Sp_{2n}(F)$-不变线性泛函？
• RQ2 通过 $U(\delta, 2m)$ 和 $\pi(U(\delta, 2m), \alpha)$ 构造的表示族（其中 $|\alpha| < 1/2$）是否穷尽了所有此类 $H$-区分的单位表示？
• RQ3 能否通过 Klyachko 模型（特别是辛模型 $\mathcal{M}_{2n,n}$）来刻画单位表示的 $H$-区分性？
• RQ4 全局自守形式理论如何帮助建立局部 $H$-区分性，尤其与纯局部方法相比？

主要发现

• 本文证明了所有 $GL_{2n}(F)$ 的不可约单位 $H$-区分表示均属于通过 $U(\delta, 2m)$ 和 $\pi(U(\delta, 2m), \alpha)$（其中 $|\alpha| < 1/2$）构造的表示族，从而完成了此类表示的分类。
• 这些表示上存在非零 $H$-不变线性泛函，其存在性由一个关键积分的收敛性所保证，该积分涉及矩阵系数与模特征 $\delta_Q^s$，且在 $\text{Re}(s)$ 足够大时成立。
• 收敛性依赖于两个关键估计：(1) 范数 $\|\epsilon_{R_{i,j}} \text{diag}(k_1,\dots,k_t)\sigma_k(X)\|$ 被 $\prod \lambda(X_i)$ 的某次幂控制；(2) $\delta_Q^s(p(\sigma_k(X)))$ 以 $\left(\prod \lambda(X_i)\right)^{-s}$ 的速率衰减。
• 单位表示 $\otimes_{j=1}^t \delta_j^{\otimes m_j}$ 的矩阵系数有界，从而保证主积分中被积函数一致有界。
• intertwining 算子的积分表示在 $\text{Re}(s)$ 足够大时绝对收敛，这蕴含了 $H$-不变泛函的存在性。
• 结合作者后续工作，该结果确认所研究的表示族包含了所有 $GL_{2n}(F)$ 的不可约单位 $H$-区分表示，从而解决了 Klyachko 猜想的局部版本。