[论文解读] On Unsteady Heat Conduction in a Harmonic Crystal

А. М. Кривцов|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 2被引用 11

一句话总结

本文提出一种非局域温度形式化方法，用于建模一维谐振子晶格中的非稳态热传导，推导出一个时间可逆的热波方程，该方程预测有限的热前缘传播速度和与长度无关的热通量——这与傅里叶定律形成鲜明对比。该方法得出的本构关系与分子动力学模拟和解析估计结果一致，揭示了低维系统中异常热输运的特性。

ABSTRACT

An analytical model of unsteady heat transfer in a one-dimensional harmonic crystal is presented. A nonlocal temperature is introduced as a generalization of the kinetic temperature. A closed equation determining unsteady thermal processes in terms of the nonlocal temperature is derived. For an instantaneous heat perturbation a time-reversible equation for the kinetic temperature is derived and solved. The resulting constitutive law for the heat flux in the considered system is obtained. This law significantly differs from Fourier's law and it predicts a finite velocity of the heat front and independence of the heat flux on the crystal length. The analytical results are confirmed by computer simulations.

研究动机与目标

• 开发一维谐振子晶格中非稳态热传导的严格宏观描述，超越傅里叶定律。
• 解决傅里叶定律在低维系统中的失效问题，特别是在纳米结构中观察到异常热输运的情况下。
• 通过谐振子晶格中非局域温度对动能温度的推广，推导出热过程的闭式方程。
• 建立一个能捕捉热传播有限速度和与晶格长度无关性的热通量本构关系。
• 通过与分子动力学模拟及先前解析结果的对比，验证分析模型。

提出的方法

• 将非局域温度 θₙ(x) 定义为粒子速度的协方差，推广标准动能温度 T(x) = m⟨ẋ²⟩/k_B。
• 利用维里近似和空间平滑性假设，推导出关于 θₙ(x,t) 的闭合微分-差分方程：ÿₙ + ½c²(θₙ₋₁ − 2θₙ + θₙ₊₁)′′ = 0。
• 应用渐近分析，将微分-差分方程简化为局部动能温度 T(x,t) 的偏微分方程，得到时间可逆的热波方程：ÿ = c²T′′。
• 对瞬时热扰动进行解析求解，获得自相似解 T = T(x/(ct))。
• 通过包含最多 10⁸ 个粒子的分子动力学模拟验证分析解，确认随着系统尺寸增大，解趋于收敛。
• 将分析解与经典模型（热传导方程、热波方程、波动方程）进行对比，突出其物理行为的差异，特别是 x = ct 处具有垂直切线的平滑热前缘。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用非局域温度形式化方法描述一维谐振子晶格中的非稳态热传导？
• RQ2 谐振子晶格中热通量的本构关系形式为何？与傅里叶定律有何不同？
• RQ3 在谐振子晶格中，热前缘是否以有限速度传播？热通量是否与晶格长度无关？
• RQ4 分析预测在温度分布和热前缘动力学方面与分子动力学模拟结果的对比如何？
• RQ5 能否从谐振子系统的微观动力学严格推导出时间可逆的宏观热传导方程？

主要发现

• 非局域温度形式化方法成功推广了动能温度，并实现了对谐振子晶格中非稳态热过程的闭合方程推导。
• 由此得到的动能温度宏观方程为时间可逆的热波方程 ÿ = c²T′′，该方程预测热前缘传播速度为有限值 c。
• 分析解表现出自相似性 T = T(x/(ct))，其热前缘平滑且在 x = ct 处具有垂直切线，与模拟结果一致。
• 热通量的本构关系预测热通量与晶格长度无关，与一维谐振子系统中的热超导性一致。
• 该模型预测热前缘具有有限传播速度，与经典热传导方程的无限前缘速度和热波方程的阶跃型前缘形成鲜明对比。
• 包含最多 10⁸ 个粒子的分子动力学模拟结果与分析解高度一致，且随着系统尺寸增大，收敛性良好。