[论文解读] On Upward-Planar L-Drawings of Graphs

Patrizio Angelini, Steven Chaplick+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 2

一句话总结

本文通過證明具有單調 st-序的平面 st-圖的子圖，確立了可展開向上平面 L-圖形的平面有向無環圖（DAG）的特徵。作者開發了線性時間演算法，用於在固定與可變嵌入下測試單源或單匯 DAG 的向上平面 L-圖形，包括仙人掌圖與雙連通系列-並行圖。

ABSTRACT

In an upward-planar L-drawing of a directed acyclic graph (DAG) each edge $e$ is represented as a polyline composed of a vertical segment with its lowest endpoint at the tail of $e$ and of a horizontal segment ending at the head of $e$. Distinct edges may overlap, but not cross. Recently, upward-planar L-drawings have been studied for $st$-graphs, i.e., planar DAGs with a single source $s$ and a single sink $t$ containing an edge directed from $s$ to $t$. It is known that a plane $st$-graph, i.e., an embedded $st$-graph in which the edge $(s,t)$ is incident to the outer face, admits an upward-planar L-drawing if and only if it admits a bitonic $st$-ordering, which can be tested in linear time. We study upward-planar L-drawings of DAGs that are not necessarily $st$-graphs. On the combinatorial side, we show that a plane DAG admits an upward-planar L-drawing if and only if it is a subgraph of a plane $st$-graph admitting a bitonic $st$-ordering. This allows us to show that not every tree with a fixed bimodal embedding admits an upward-planar L-drawing. Moreover, we prove that any acyclic cactus with a single source (or a single sink) admits an upward-planar L-drawing, which respects a given outerplanar embedding if there are no transitive edges. On the algorithmic side, we consider DAGs with a single source (or a single sink). We give linear-time testing algorithms for these DAGs in two cases: (i) when the drawing must respect a prescribed embedding and (ii) when no restriction is given on the embedding, but it is biconnected and series-parallel.

研究动机与目标

• 特徵化哪些平面 DAG 可以展開為向上平面 L-圖形。
• 確定具有固定雙模嵌入的樹無法展開為此類圖形的條件。
• 為測試單源或單匯 DAG 中的向上平面 L-圖形，開發高效演算法。
• 將結果擴展至具有可變嵌入的雙連通系列-並行 DAG 與仙人掌圖形。
• 彙整一般 DAG 中向上平面 L-圖形測試的複雜度差距。

提出的方法

• 提出特徵：平面 DAG 可展開為向上平面 L-圖形，當且僅當其為具有單調 st-序的平面 st-圖的子圖。
• 使用深度優先搜尋，透過後序與前序編號分配 x-與 y-座標，適用於有向仙人掌圖。
• 在系列-並行元件上應用動態規劃，透過樞紐類型與自由旗標的約束，結合不同類型的子圖。
• 引入元件的類型系統（南/北類型、旗標），以編碼嵌入選擇與相容性。
• 使用正則表示式匹配演算法，驗證系列-並行圖形中有效嵌入序列的合法性。
• 利用單調 st-序作為關鍵結構性質，以實現線性時間測試。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些平面 DAG 可以展開為向上平面 L-圖形？其必要且充分條件為何？
• RQ2 是否每個具有固定雙模嵌入的樹皆可繪製為向上平面 L-圖形？
• RQ3 是否存在線性時間演算法，用於測試具有固定平面嵌入的單源或單匯 DAG 的向上平面 L-圖形？
• RQ4 在可變嵌入設定下，是否能高效測試雙連通系列-並行 DAG 的向上平面 L-圖形？
• RQ5 DAG 的哪些結構性質（例如仙人掌圖、系列-並行圖）可保證此類圖形的存在？

主要发现

• 平面 DAG 可展開為向上平面 L-圖形，當且僅當其為具有單調 st-序的平面 st-圖的子圖。
• 存在具有固定雙模嵌入的樹無法展開為向上平面 L-圖形，從而否證了某種可能的推廣。
• 所有具有單一來源或來源的有向仙人掌圖皆可展開為向上平面 L-圖形，且可透過基於 DFS 的座標分配計算得出。
• 對於具有單一來源或來源的雙連通系列-並行 DAG，若存在有效類型組合，則在某種嵌入下可展開為向上平面 L-圖形，且可於線性時間內測試。
• 使用元件類型與自由旗標的演算法框架，可實現常數時間類型組合，進而達成整體線性時間複雜度。
• 一般 DAG（具多個來源與來源）以及一般系列-並行 DAG 在可變嵌入情況下的問題仍屬開放。