[论文解读] On walk-regular graphs and graphs with symmetric hitting times

Agelos Georgakopoulos|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2012

Graph theory and applications参考文献 6被引用 10

一句话总结

本文通过证明行走正则图——即对任意固定长度的闭合行走数量不依赖于起点顶点的图——不一定是顶点传递的，从而解决了Aldous提出的问题，给出了Aldous关于对称 hitting 时间与随机游走返回概率问题的否定回答。关键贡献在于：行走正则性蕴含对称 hitting 时间，但不蕴含传递性，反例来自距离正则图以及Godsil & McKay的构造。

ABSTRACT

Aldous [1] asked whether every graph in which the distribution of the return time of random is independent of the starting vertex must be transitive. We remark that this question can be reduced into a purely graph-theoretic one that had already been answered Godsil & McKay [6] and ask some questions motivated by this.

研究动机与目标

• 确定所有顶点具有相同返回时间分布的图是否必然为顶点传递图。
• 研究行走正则性、对称 hitting 时间与图传递性之间的关系。
• 探讨可逆性（对称 hitting 时间）是否蕴含正则性或行走正则性。
• 通过有效电阻与图不变量，考察可逆图的结构与谱性质。

提出的方法

• 将Aldous的概率问题转化为纯粹图论条件：行走正则性。
• 利用行走正则性与所有顶点在n步后具有相同返回概率的等价性。
• 应用Godsil & McKay关于非传递行走正则图的已知结果。
• 通过电阻网络中的有效电阻分析 hitting 时间，利用恒等式：Hxy = Hyx 当且仅当 ∑w d(w)r(v,w) 关于v为常数。
• 基于有效电阻与度数和，定义图不变量Rd(G)与Rπ(G)。
• 构造可逆图，并通过谱方法探索其扩张性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有顶点具有相同返回时间分布的图是否必然为顶点传递图？
• RQ2 对称 hitting 时间（Hxy = Hyx）是否意味着图是正则或行走正则的？
• RQ3 对于可逆图，Rπ(G)（归一化有效电阻和）可以取哪些有理数？
• RQ4 能否构造出具有良好扩张性质（如随机游走混合特性）的可逆图？
• RQ5 是否存在不是行走正则的可逆图？若存在，其结构条件是什么？

主要发现

• 行走正则图不一定是顶点传递的，为Aldous的问题提供了否定回答。
• 存在行走正则但既非传递也非距离正则的图，如Godsil & McKay所构造。
• 每个行走正则图都具有对称 hitting 时间，即对所有x,y有Hxy = Hyx。
• 对所有顶点v，∑w d(w)r(v,w)为常数，当且仅当图是可逆的（具有对称 hitting 时间）。
• 归一化不变量Rπ(G) = Rd(G)/(2m)为有理数，且可任意小或任意大，如Kn与Cn的实例所示。
• 本文表明，构造具有良好扩张性质的可逆图仍是开放且有价值的研究方向。