[论文解读] On Warped product gradient Ricci Soliton

Márcio Lemes de Sousa, Romildo Pina|arXiv (Cornell University)|May 14, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文研究了半黎曼流形上的扭曲积梯度里奇孤立子，证明了若扭曲函数的海森矩阵非零，则势函数仅依赖于基流形，且纤维必为爱因斯坦流形。当基流形共形于伪欧几里得空间且在 (n−1) 维平移群作用下不变、纤维里奇平坦时，本文给出了稳态梯度里奇孤立子的显式解，通过关于扭曲函数和势函数的常微分方程组构造出新的孤立子类。

ABSTRACT

In this paper we consider $M = B imes_{f}F$ warped product gradient Ricci solitons. We proved that the potential function depends only on the base and the fiber $F$ is necessarily Einstein manifold. We provide all such solutions in the case of steady gradient Ricci solitons when the base is conformal to an $n$-dimensional pseudo-Euclidean space, invariant under the action of an $(n-1)$-dimensional translation group and the fiber $F$ is Ricci-flat.

研究动机与目标

• 通过推广共形对称性相关结果，填补对非局部共形平坦梯度里奇孤立子理解的空白。
• 刻画扭曲积梯度里奇孤立子的结构，其中扭曲函数的海森矩阵非退化，建立对势函数和纤维的结构约束。
• 当基流形共形于伪欧几里得空间且在 (n−1) 维平移群作用下不变时，提供稳态梯度里奇孤立子的完整解。
• 在对称性与曲率假设下，推导扭曲度量 $ ilde{g} = \bar{g} + f^2 g_F$ 满足梯度里奇孤立子方程的必要与充分条件。
• 通过扭曲函数、共形因子和势函数的常微分方程组构造显式解，区分光锥对称方向与非光锥对称方向的情形。

提出的方法

• 本文采用扭曲积几何 $M = B \times_f F$，其中基流形 $B$ 为半黎曼流形，纤维 $F$ 为另一半黎曼流形，度量为 $\tilde{g} = \bar{g} + f^2 g_F$，其中 $\bar{g} = \frac{1}{\tilde{\rho}^2} g$ 共形于伪欧几里得度量。
• 由梯度里奇孤立子条件 $\text{Ric}_{\tilde{g}} + \text{Hess}_{\tilde{g}}(h) = \rho \tilde{g}$ 导出关键方程，得到关于 $f$、$\rho$ 和 $h$ 的常微分方程组。
• 通过假设在 $(n-1)$ 维平移群作用下不变，问题简化为单变量 $\theta = \theta(\theta)$，其中 $f$、$\rho$ 和 $h$ 仅依赖于 $\theta$。
• 引入辅助变量 $z(\theta) = y/x$，其中 $x = f'/f$ 且 $y = h' + [(n-2)k - m]f'/f$，将系统转化为关于 $z$ 的一阶常微分方程。
• 识别出两类解：$z = N$ 为常数，给出代数解（定理 1.4）；非恒定 $z(\theta)$ 满足非线性常微分方程（定理 1.5）。
• 通过显式积分常微分方程，得到 $\rho$、$f$、$\rho$ 和 $h$ 关于初值条件与参数 $m$、$n$、$k$ 的初等函数闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当扭曲函数 $f$ 的海森矩阵非零时，扭曲积梯度里奇孤立子的必要几何约束是什么？
• RQ2 基流形的对称性——特别是关于 $(n-1)$ 维平移群的不变性——如何影响梯度里奇孤立子的结构？
• RQ3 当基流形共形于伪欧几里得空间时，扭曲度量 $\tilde{g} = \bar{g} + f^2 g_F$ 成为梯度里奇孤立子的必要与充分条件是什么？
• RQ4 当对称方向为零（光锥）与非零（非光锥）时，解有何不同？
• RQ5 在里奇平坦纤维与稳态孤立子（$\rho = 0$）情形下，扭曲函数 $f$、共形因子 $\rho$ 和势函数 $h$ 的显式形式为何？

主要发现

• 当扭曲函数 $f$ 的海森矩阵非零时，势函数 $h$ 仅依赖于基流形 $B$，且纤维 $F$ 必为爱因斯坦流形。
• 对于基流形共形于伪欧几里得空间且在 $(n-1)$ 维平移群作用下不变的稳态梯度里奇孤立子，当 $\rho = 0$ 时，纤维 $F$ 必为里奇平坦。
• 发现两类不同解：一类为 $z = N$ 为常数，给出解 $f(\theta) = -1/(N\theta + b)$；另一类为非恒定 $z(\theta)$ 满足非线性常微分方程。
• 势函数 $h$ 通过系统积分显式构造，其中 $h'(\theta) = [z(\theta) + m - k(n-2)]x(\theta)$，$x(\theta) = f'(\theta)/f(\theta)$。
• 在里奇平坦纤维与 $\rho = 0$ 情形下，势函数 $h$ 满足一个线性常微分方程，其解由公式 (11) 显式给出，涉及 $f''/f$、$\rho'$ 和 $\rho''$ 的积分。
• 对常数与非恒定 $z$ 两种情形，均推导出 $\rho$、$f$ 和 $h$ 的闭式解，其中 $f$ 和 $h$ 表示为 $\theta$ 的有理函数与对数函数。