[论文解读] On Witt vector cohomology for singular varieties

Pierre Berthelot, Spencer Bloch+1 more|ArXiv.org|Oct 17, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 5

一句话总结

本论文为正特征的完美域上分离的有限型概形构造了具有紧支集的Witt向量上同调，建立了具有紧支集的刚性上同调的斜率<1部分与该Witt上同调之间的典范同构。关键结果将刚性上同调的斜率<1部分识别为有理Witt上同调，从而为有限域上代数簇的有理点计数提供了新的同余公式，包括对Serre关于theta除子的猜想的证明。

ABSTRACT

Over a perfect field $k$ of characteristic $p &gt; 0$, we construct a ``Witt vector cohomology with compact supports'' for separated $k$-schemes of finite type, extending (after tensorisation with $\mathbb{Q}$) the classical theory for proper $k$-schemes. We define a canonical morphism from rigid cohomology with compact supports to Witt vector cohomology with compact supports, and we prove that it provides an identification between the latter and the slope $&lt; 1$ part of the former. Over a finite field, this allows one to compute congruences for the number of rational points in special examples. In particular, the congruence modulo the cardinality of the finite field of the number of rational points of a theta divisor on an abelian variety does not depend on the choice of the theta divisor. This answers positively a question by J.-P. Serre.

研究动机与目标

• 通过具有紧支集的Witt向量上同调将晶体上同调推广到奇异概形。
• 定义从具有紧支集的刚性上同调到具有紧支集的Witt向量上同调的典范态射。
• 证明该态射在刚性上同调的斜率<1部分与Witt向量上同调之间诱导出同构。
• 将该同构应用于推导有限域上代数簇有理点数的同余关系。
• 解决Serre关于theta除子点计数模域大小的独立性问题。

提出的方法

• 通过结构层的Witt向量到商层的Witt向量的映射的核来构造具有紧支集的Witt向量上同调。
• 使用Deligne的凝聚上同调下降技术，证明构造中紧化选择的独立性。
• 通过 $ H^*(X, W\tilde{I}_K) $ 定义上同调空间，其中 $ U \to X $ 为开浸入，补集为 $ V(\tilde{I}) $，并证明其函子性。
• 利用包含该概形的光滑形式 $ W $-概形上的de Rham复形，建立从具有紧支集的刚性上同调到Witt向量上同调的典范态射。
• 应用Witt上同调的上同调下降，证明在斜率<1范围内的主要同构。
• 利用Frobenius作用与 $ K $-张量化，将上同调与刚性上同调的斜率分解联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为正特征的完美域上分离的有限型奇异概形定义具有紧支集的Witt向量上同调？
• RQ2 具有紧支集的刚性上同调的斜率<1部分与具有紧支集的Witt向量上同调之间是否存在典范同构？
• RQ3 该同构是否能为有限域上代数簇的有理点计数提供新的同余关系？
• RQ4 该同构是否能解决Serre关于theta除子点计数模域大小独立性的猜想？
• RQ5 在何种条件下，有限群在凝聚上同调上的作用能提升到Witt上同调？

主要发现

• 对于任意分离的 $ k $-概形（有限型），建立了具有紧支集的刚性上同调的斜率<1部分与具有紧支集的Witt向量上同调之间的典范同构。
• 具有紧支集的Witt向量上同调的构造独立于紧化选择，将Deligne的结果推广到Witt向量设定。
• 该同构意味着刚性上同调中斜率<1部分对应的zeta函数因子同构于有理Witt上同调，从而可推导出新的同余公式。
• 本文证明了有限域上阿从簇的theta除子的有理点数与theta除子的选择无关，从而证实了Serre的猜想。
• 在 $ H^i({\rm \tilde{O}}_X) $ 上群作用平凡的条件下，推导出概形关于有限群作用商的有理点数模 $ q $ 的同余关系，当 $ p $ 整除 $ |G| $ 时存在反例。