[论文解读] One Mass-Radius relation for Planets, White Dwarfs and Neutron Stars

D. Lynden–Bell, J. P. O'Dwyer|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2001

Stellar, planetary, and galactic studies被引用 5

一句话总结

本文基于电子简并压力、引力坍缩和基本常数，提出了一种适用于冷天体——行星、白矮星和中子星的统一质量-半径关系。通过在非相对论极限与相对论极限之间插值，推导出一个单一公式，表明在非相对论区域，半径与质量的关系为 $ R \propto M^{-4/3} $，而在钱德拉塞卡极限之后迅速坍缩；最大半径的行星质量为木星质量的3.3倍。

ABSTRACT

We produce the simple formula for the radius R of a cold body of mass M, (4 pi rho/3)^{1/3} R = I.M^{1/3} / [1+ (M/Mp)^{2/3}], where I is one for white dwarfs with non-relativistic electrons, but depends on the ratio of the total mass to Mch, the Chandrasekhar mass. Mp is the mass of the planet of maximum radius and rho is the density of the material at low pressure. Mp and rho are derived in terms of fundamental constants and Mp/Mch is basically given by the three halves power of the fine structure constant. The aim of the discussion is to emphasise physical principles and to connect the masses derived to the fundamental constants, so mathematical niceties are sacrificed and replaced by interpolations between simple exact limits.

研究动机与目标

• 推导一个单一、简洁的公式，描述行星、白矮星和中子星等不同冷天体的质量-半径关系，通过统一物理原理实现。
• 用基本常数（特别是精细结构常数）表达关键质量，如钱德拉塞卡极限和最大半径行星的质量。
• 强调物理直觉而非数学严谨性，通过在精确极限之间插值，在关键区域保持准确性。
• 将宏观天体物理性质与量子力学基础（特别是电子简并压力和泡利不相容原理）联系起来。

提出的方法

• 该模型使用维里定理和电子简并压力，假设多方状态方程在非相对论区域满足 $ p \propto \rho^{5/3} $，在相对论区域满足 $ p \propto \rho^{4/3} $。
• 引入无量纲变量 $ y = (M/M_p)^{1/3} $，其中 $ M_p $ 为最大半径行星的质量，并引入相对论修正因子 $ J = \sqrt{1 - y^4/y_{ch}^4} $，其中 $ y_{ch} = (M_{ch}/M_p)^{1/3} $。
• 半径公式推导为 $ \left(\frac{4}{3}\pi\rho_0\right)^{1/3}R = M_p^{1/3} \frac{y}{1+y^2} \cdot \frac{J}{1 + \frac{3}{4}(1 - \sqrt{J})} $，其中 $ \rho_0 $ 通过拟合土星半径确定。
• 该公式在非相对论（类行星）与相对论（类白矮星）区域之间插值，中子星通过将 $ m_e $ 替换为 $ m_n $ 并将 $ \rho_0 \to (m_n/m_e)^3 \rho_0 $ 进行修正。
• 模型利用观测数据（如土星、木星、白矮星及一颗中子星）校准 $ \rho_0 $ 和 $ M_p $，得到 $ \rho_0 = 0.419~\text{g cm}^{-3} $ 和 $ M_p = 6.24 \times 10^{30}~\text{g} $。
• 钱德拉塞卡极限估算为 $ M_{ch} \approx 5.82 M_\odot $，但广义相对论和中子相互作用的修正使其实际值降至 2–3.6 $ M_\odot $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过相同的物理原理，用单一的质量-半径关系描述行星、白矮星和中子星？
• RQ2 最大半径行星的起源是什么？其质量与半径如何与基本常数相关联？
• RQ3 从非相对论到相对论电子简并压力的过渡如何塑造质量-半径关系？
• RQ4 精细结构常数在决定 $ M_p / M_{ch} $ 比值中的作用是什么？这如何与基本物理联系起来？
• RQ5 中子星与同质量白矮星在半径上有何不同？真实状态方程需要哪些修正？

主要发现

• 最大半径行星的质量为木星质量的3.3倍（约 $ 6.24 \times 10^{30}~\text{g} $），半径为 $ 8.65 \times 10^9~\text{cm} $，超过木星的半径 $ 7.0 \times 10^9~\text{cm} $。
• 模型通过 $ \beta = 1.137 $ 拟合土星半径，得到 $ \rho_0 = 0.419~\text{g cm}^{-3} $，与低压氢和氦的密度一致。
• 对于非相对论天体，半径与质量的关系为 $ R \propto M^{-4/3} $，与棕矮星和白矮星序列相符。
• 超过钱德拉塞卡极限后，由于相对论简并压力，半径迅速坍缩，无法形成稳定平衡态。
• 中子星的半径预计比同质量的电子支持的白矮星小一个因子 $ m_e/m_n \approx 1/1836 $。
• 比值 $ M_p / M_{ch} $ 与 $ \alpha^{-3/2} $ 成正比，其中 $ \alpha $ 为精细结构常数，将宏观天体物理质量与基本常数联系起来。