[论文解读] One Ring to Rule Them All: Certifiably Robust Geometric Perception with Outliers

Heng Yang, Luca Carlone|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2020

Robotics and Sensor-Based Localization被引用 27

一句话总结

该论文通过将截断最小二乘（TLS）估计重新表述为多项式优化问题，首次提出了在高异常值率下具有普遍性和实用性的可认证鲁棒几何感知框架。利用拉塞雷（Lasserre）的矩松弛法结合基底约化与道格拉斯-拉奇福德分裂法进行对偶认证，该方法在大规模问题上实现了全局最优性保证，其精度、鲁棒性和可扩展性均优于启发式方法和先前的松弛方法，最高可处理100个测量值。

ABSTRACT

We propose the first general and practical framework to design certifiable algorithms for robust geometric perception in the presence of a large amount of outliers. We investigate the use of a truncated least squares (TLS) cost function, which is known to be robust to outliers, but leads to hard, nonconvex, and nonsmooth optimization problems. Our first contribution is to show that -for a broad class of geometric perception problems- TLS estimation can be reformulated as an optimization over the ring of polynomials and Lasserre's hierarchy of convex moment relaxations is empirically tight at the minimum relaxation order (i.e., certifiably obtains the global minimum of the nonconvex TLS problem). Our second contribution is to exploit the structural sparsity of the objective and constraint polynomials and leverage basis reduction to significantly reduce the size of the semidefinite program (SDP) resulting from the moment relaxation, without compromising its tightness. Our third contribution is to develop scalable dual optimality certifiers from the lens of sums-of-squares (SOS) relaxation, that can compute the suboptimality gap and possibly certify global optimality of any candidate solution (e.g., returned by fast heuristics such as RANSAC or graduated non-convexity). Our dual certifiers leverage Douglas-Rachford Splitting to solve a convex feasibility SDP. Numerical experiments across different perception problems, including single rotation averaging, shape alignment, 3D point cloud and mesh registration, and high-integrity satellite pose estimation, demonstrate the tightness of our relaxations, the correctness of the certification, and the scalability of the proposed dual certifiers to large problems, beyond the reach of current SDP solvers.

研究动机与目标

• 解决高异常值率下缺乏通用、可扩展且可认证的鲁棒几何感知算法的问题。
• 克服截断最小二乘（TLS）估计中非凸性、非光滑性及大规模计算带来的挑战。
• 开发一种为带异常值的几何感知问题提供全局最优性保证的框架，以支持安全关键型应用。
• 通过使用对偶认证器和稀疏性利用，实现超越标准SDP求解器能力范围的可扩展性。
• 提供一种数学上严谨的方法，用于验证启发式解（如RANSAC或GNC）的正确性。

提出的方法

• 将基于TLS的几何感知问题重新表述为多项式环上的多项式优化问题。
• 将拉塞雷（Lasserre）的凸矩松弛层次法应用于多项式形式化，证明在最小松弛阶数下具有经验上的紧致性。
• 提出一种基底约化技术，利用多项式目标函数和约束中的结构稀疏性，显著减小半定规划（SDP）规模，同时不损失松弛的紧致性。
• 基于平方和（SOS）松弛和道格拉斯-拉奇福德分裂法，开发对偶最优性认证器，求解凸可行性SDP，实现对大规模几何感知问题的可扩展性全局最优性验证。
• 利用对偶认证器的对偶间隙计算次优性界，并验证候选解的全局最优性。
• 将该框架与快速启发式方法（如RANSAC、GNC）集成，实现对其解的后验认证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将几何感知中的截断最小二乘（TLS）估计重新表述为可进行可认证松弛的多项式优化问题？
• RQ2 拉塞雷的矩松弛层次法是否能在最小松弛阶数下为带异常值的TLS问题提供紧致界？
• RQ3 能否通过基底约化技术利用多项式形式化中的结构稀疏性，以减小SDP规模，同时保持松弛的紧致性？
• RQ4 基于SOS松弛和道格拉斯-拉奇福德分裂法的对偶认证器是否能扩展到大规模几何感知问题（如N = 100），而标准SDP求解器无法处理？
• RQ5 所提出的对偶认证器是否能正确识别全局最优解，并在对抗性异常值下检测出次优解？

主要发现

• 所提出的拉塞雷层次法的原始松弛在最小松弛阶数下具有经验上的紧致性，可为一大类具有TLS代价函数的几何感知问题认证全局最优性。
• 基底约化显著减小了SDP规模——使可求解的测量值数量达到100个，超越了标准SDP求解器的能力范围。
• 基于道格拉斯-拉奇福德分裂法的对偶认证器实现了可扩展性，并能正确认证全局最优性，在解正确性验证中零误报或误报，优于如KS检验等启发式方法。
• 在单重旋转平均问题上，所提方法在高达73%异常值率下，其精度和鲁棒性均优于GNC（启发式）和弦图稀疏SDP基线方法。
• 在对抗性模型下，该框架在50%异常值率时仍保持紧致性，即使真实解并非最一致的解，也能认证其全局最优性。
• 在三维点云配准、网格对齐和卫星位姿估计中的数值实验，证实了认证的正确性，并展示了对真实问题规模的可扩展性。