[论文解读] One-way quantum finite automata together with classical states

Daowen Qiu, Paulo Mateus+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 47被引用 4

一句话总结

本文提出了带经典状态的单向量子有限自动机（1QFAC），这是一种结合量子叠加与经典控制的混合模型，可识别所有正则语言。该文证明1QFAC相较于确定性有限自动机（DFA）可实现指数级的压缩，能以有界误差识别所有正则语言，并提供了在EXPSPACE内的高效等价性检查与状态最小化算法。

ABSTRACT

We show that there are quantum devices that accept all regular languages and that are exponentially more concise than deterministic finite automata (DFA). For this purpose, we introduce a new computing model of {\it one-way quantum finite automata} (1QFA), namely, {\it one-way quantum finite automata together with classical states} (1QFAC), which extends naturally both measure-only 1QFA and DFA and whose state complexity is upper-bounded by both. The original contributions of the paper are the following. First, we show that the set of languages accepted by 1QFAC with bounded error consists precisely of all regular languages. Second, we prove that 1QFAC are at most exponentially more concise than DFA. Third, we show that the previous bound is tight for families of regular languages that are not recognized by measure-once (RMO), measure-many (RMM) and multi-letter 1QFA. % More concretely we exhibit regular languages $L^0(m)$ for $m$ prime such that: (i) $L^0(m)$ cannot be recognized by measure-once, measure-many and multi-letter 1QFA; (ii) the minimal DFA that accepts $L^0(m)$ has $O(m)$ states; (iii) there is a 1QFAC with constant classical states and $O(\log(m))$ quantum basis that accepts $L^0(m)$. Fourth, we give a polynomial-time algorithm for determining whether any two 1QFAC are equivalent. Finally, we show that state minimization of 1QFAC is decidable within EXPSPACE. We conclude the paper by posing some open problems.

研究动机与目标

• 开发一种新的量子自动机模型，统一测量仅一次的单向量子有限自动机（1QFA）与确定性有限自动机（DFA）。
• 证明1QFAC能够以有界误差识别所有正则语言，从而扩展现有1QFA模型的表达能力。
• 建立1QFAC在某些正则语言上相较于经典DFA实现指数级状态压缩的结论。
• 提供1QFAC等价性检查与状态最小化的高效算法，并给出复杂度界限。

提出的方法

• 将1QFAC定义为结合量子基态与经典控制状态的模型，其中量子演化为酉操作，测量为投影测量。
• 定义转移机制：经典状态通过酉操作控制量子态演化，测量结果更新经典状态。
• 使用大小为O(log m)的量子基态编码与语言相关的属性，实现对复杂正则语言的紧凑表示。
• 为语言L⁰(m)（其中m为素数）构造显式1QFAC，表明其仅需常数个经典状态与O(log m)个量子基态。
• 设计多项式时间算法，通过比较其转移与接受结构来测试两个1QFAC的等价性。
• 利用代数与自动机理论技术，证明1QFAC的状态最小化问题可在EXPSPACE内判定。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有经典控制的量子自动机模型能否以有界误差识别所有正则语言？
• RQ2 1QFAC在正则语言上的状态复杂度与经典DFA相比如何？
• RQ3 是否存在无法被测量一次、测量多次或多重字母1QFA识别，但可被1QFAC识别的正则语言？
• RQ4 两个1QFAC的等价性能否被高效判定，其最小化问题的计算复杂度为何？
• RQ5 1QFAC的状态最小化问题是否可判定，其复杂度如何？

主要发现

• 以有界误差被1QFAC识别的语言集合恰好是所有正则语言的集合。
• 1QFAC可相较于DFA实现指数级压缩：对于m为素数的语言L⁰(m)，最小DFA需O(m)个状态，而1QFAC仅需O(log m)个量子基态与常数个经典状态。
• 存在正则语言（如m为素数时的L⁰(m)），无法被测量一次、测量多次或多重字母1QFA识别，证明1QFAC具有严格更强的表达能力。
• 存在多项式时间算法，可判定两个1QFAC是否等价。
• 1QFAC的状态最小化问题可判定，且位于EXPSPACE复杂度类内。
• 通过L⁰(m)语言族的实例，证明1QFAC相较于DFA在状态压缩上的上界是紧致的。