[论文解读] Onsager-Machlup action functional for stochastic partial differential equations with Levy noise

Jianyu Hu, Jinqiao Duan|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 42被引用 5

一句话总结

本文推导了在希尔伯特空间中由布朗运动和非高斯 Lévy 白噪声共同驱动的随机偏微分方程（SPDEs）的 Onsager-Machlup 动作泛函。通过使用 Girsanov 变换和一种新颖的路径表示技术，该研究实现了通过最小化动作泛函来识别在亚稳态之间最可能的过渡路径，这是首次针对具有通用 Lévy 噪声的无限维系统完成此类推导。

ABSTRACT

This work is devoted to deriving the Onsager-Machlup action functional for stochastic partial differential equations with (non-Gaussian) Levy process as well as Gaussian Brownian motion. This is achieved by applying the Girsanov transformation for probability measures and then by a path representation. This enables the investigation of the most probable transition path for infinite dimensional stochastic dynamical systems modeled by stochastic partial differential equations, by minimizing the Onsager-Machlup action functional.

研究动机与目标

• 将 Onsager-Machlup 动作泛函扩展至具有非高斯 Lévy 噪声的无限维随机动力系统，超越经典布朗运动情形。
• 克服 Lévy 驱动 SPDE 中 Karhunen-Loève 分量非独立性所带来的挑战，该问题使得标准 L² 基归一化技术失效。
• 建立一个严格的框架，通过变分原理计算 SPDE 中亚稳态之间最可能的过渡路径，适用于一般 Lévy 噪声。
• 将现有有限维结果推广至无限维系统，特别是针对具有小跳和大跳的 Lévy 过程。
• 为研究由重尾噪声建模的复杂系统中的罕见事件与跃迁机制提供理论基础。

提出的方法

• 应用 Girsanov 变换重加权概率测度，使漂移项得以吸收，促进路径层面的分析。
• 引入一种路径表示方法，以处理无限维设定下 Lévy 过程的非马氏性和非高斯性。
• 利用 Cameron-Martin 空间框架，将 Onsager-Machlup 泛函定义为路径变分的拉格朗日量，通过最小化作用量来寻找最可能的路径。
• 推导出作用量泛函的形式为 $ J_0( heta, heta') = -\frac{1}{2} \bigintsss_0^1 \big\backslash| \nabla \theta(t) + F(t, \theta(t)) - \theta'(t) - \nu \big\backslash|^2_H dt $，其中 $ \nu $ 反映 Lévy 跳跃特征。
• 采用非线性漂移 $ F $ 的 Frechét 导数，确保在状态空间中具有 $ C_b^2 $ 正则性，以保证可微性与稳定性。
• 在示例情况下建立雅可比矩阵 $ \nabla_x F $ 的迹为零，使作用量泛函仅依赖于残余漂移与噪声项，从而实现简化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Onsager-Machlup 动作泛函推广至希尔伯特空间中由非高斯 Lévy 噪声驱动的 SPDE？
• RQ2 哪些数学技术能够克服 Lévy 过程在 Karhunen-Loève 展开中标准 L² 归一化与独立性假设失效的问题？
• RQ3 能否通过在 Lévy 噪声下最小化作用量泛函，来计算无限维 SPDE 中亚稳态之间的最可能过渡路径？
• RQ4 当噪声同时包含布朗运动与具有任意跳跃大小分布的 Lévy 跳跃时，Onsager-Machlup 泛函的结构是怎样的？
• RQ5 与小跳或泊松近似相比，Lévy 过程中包含大跳如何影响作用量泛函的形式与解释？

主要发现

• 本文成功推导出结合布朗运动与 Lévy 噪声的 SPDE 的 Onsager-Machlup 动作泛函，这是首次针对具有通用 Lévy 过程的无限维系统实现该结果。
• 所推导的作用量泛函为 $ J_0(\theta, \theta') = -\frac{1}{2} \bigintsss_0^1 \big\backslash| \nabla \theta(t) + F(t, \theta(t)) - \theta'(t) - \nu \big\backslash|^2_H dt $，其中 $ \nu = \bigoplus_j e_j \bigintsss_{-1}^1 \frac{c_j e^{-\beta_j x}}{x^{1+\beta_j}} dx $，准确捕捉了 Lévy 跳跃特征。
• 路径表示方法有效处理了 Karhunen-Loève 分量缺乏独立性的问题，克服了以往方法中的关键障碍。
• 该作用量泛函适用于 Lévy 过程中的小跳与大跳，扩展了以往仅限于小跳近似的工作。
• 在示例中，Frechét 导数 $ \nabla_x F $ 的迹为零，使作用量泛函仅依赖于残余漂移与噪声项，与已知的有限维情形保持一致。
• 该框架使得能够使用欧拉-拉格朗日方程计算最可能的过渡路径，为复杂系统中罕见事件分析提供了变分路径。